Calcule ou mostre que não existe.

  1. lim x → 0   ⁡ arcsin ⁡ x - sin ⁡ x arctan ⁡ x - x cos ⁡ x
  2. lim x → 0 + ⁡ 1 + x x + x 1 x

Restrição: o uso da Regra de L’Hôpital só poderá ser utilizado em apenas um dos itens.

Passo 1

Faaaala, molecada! Vamos tentar uma abordagem usando as expansões de Taylor e a notação o-pequeno:

arcsin ⁡ x = x + x 3 6 + o x 3                                         cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + o ( x 2 )

arctan ⁡ x = x - x 3 3 + o x 3                                         sin ⁡ x = x - x 3 6 + o ( x 3 )

Dessa forma:

lim x → 0   ⁡ arcsin ⁡ x - sin ⁡ x arctan ⁡ x - x cos ⁡ x =

= lim x → 0   ⁡ x + x 3 6 + o x 3 - x - x 3 6 + o x 3 x - x 3 3 + o x 3 - x 1 - x 2 2 + o x 2 =

= lim x → 0   ⁡ 2 ⋅ x 3 6 + o ( x 3 ) x - x 3 3 + o x 3 - x - x 3 2 + o x 3 =

= lim x → 0   ⁡ x 3 3 + o ( x 3 ) x 3 - 1 3 + 1 2 + o ( x 3 ) =

= lim x → 0   ⁡ x 3 3 + o ( x 3 ) x 3 6 + o ( x 3 ) ⋅ 1 x 3 1 x 3 =

= lim x → 0   ⁡ 1 3 + o ( 1 ) 1 6 + o ( 1 ) = 1 3 1 6 = 2

No final, é análogo a utilizar L’Hôpital pois envolve derivadas também.

Resposta

lim x → 0   ⁡ arcsin ⁡ x - sin ⁡ x arctan ⁡ x - x cos ⁡ x = 2

Exercícios de Livros Relacionados

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0