Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2 , calcule um valor aproximado e avalie o erro.

c) sin ⁡ ( 0,1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar um polinômio de Taylor de ordem 2 que nos dê um valor aproximado para sin ⁡ ( 0,1 ) e, em seguida, avaliar o erro dessa aproximação.

Um polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em x 0 tem essa cara aqui:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

Então, para encontrar uma aproximação para a nossa função, vamos precisar da primeira e da segunda derivada dela. Em seguida, vamos assumir um valor para x 0 próximo ao que queremos aproximar e substituir tudo na equação do polinômio.

Para avaliar o erro E ( x ) dessa aproximação, vamos usar:

E x = f ' ' ' ( x ) 3 ! x - x 0 3

De modo que f x - P ( x ) ≤ E ( x ) . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = sin ⁡ ( x ) :

f ' x = cos ⁡ x

f ' ' x = - sin ⁡ x

Agora vamos assumir x 0 = 0 e substituir nas derivadas:

f ' 0 = cos ⁡ ( 0 ) = 1

f ' ' 0 = - sin ⁡ ( 0 ) = 0

Além disso, f x 0 = f 0 = sin ⁡ 0 = 0 .

Com isso, substituindo no polinômio de Taylor de ordem 2 :

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

O polinômio vai ficar:

P x = 0 + 1 x - 0 - 0 2 x - 0 2

Simplificando:

P x = x

Assim, para f x = sin ⁡ ( 0,1 ) , vamos ter o valor aproximado fazendo x = 0,1 :

P 0,1 = 0 , 1

Passo 3

Feito isso, vamos avaliar o erro dessa aproximação usando:

E x = f ' ' ' ( x ) 3 ! x - x 0 3

Por isso, vamos calcular a terceira derivada da função, usando o valor da segunda derivada encontrada no passo anterior ( f ' ' x = - sin ⁡ x ):

f ' ' ' x = - cos ⁡ x

Sabendo que f 0,1 = sin ⁡ ( 0,1 ) , que P 0,1 = 0,1 e usando f x - P ( x ) ≤ E ( x ) , temos:

sin ⁡ ( 0,1 ) - 0 , 1 ≤ - cos ⁡ ( 0 ) 6 0,1 - 0 3

sin ⁡ ( 0,1 ) - 0,1 ≤ 0,00 01666

sin ⁡ ( 0,1 ) - 0,1 ≤ 10 - 3

Portanto, o erro é da ordem de 10 - 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P 0,1 = 0,1

sin ⁡ ( 0,1 ) - 0,1 ≤ 10 - 3

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