Seja n natural ímpar. Mostre que, para todo x ∈ R ,

sin ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !  

Passo 1

Vamos provar essa desigualdade usando o Teorema do Valor Médio para funções contínuas.

Primeiro, vamos observar a fórmula de Taylor com forma integral (Teorema do Valor Médio de Taylor):

f x = f a +   f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n + R n ( x )

Onde R n x   é o resto da fórmula de Taylor.

Agora, consideremos a função f x sin ⁡ ( x ) e o intervalo [ a , x ] , onde a   e   x são números reais. O Teorema do Valor Médio afirma que existe um número c entre a   e   x tal que:

f x = f a + f ' c ( x - a )

No nosso caso, f x = sin ⁡ ( x ) então:

sin ⁡ x = sin ⁡ ( a ) + cos ⁡ ( c ) ( x - a )

Agora, aplicaremos o Teorema do Valor Médio novamente, mas para a função f x = cos ⁡ ( x ) no intervalo [ a , c ]

c o s ( c )   =   c o s ( a )   -   s i n ( d ) ( c   -   a )

onde d é um número entre a   e   c

Passo 2

Substituindo essa expressão de c o s ( c ) na primeira equação, temos:

s i n x = s i n a + ( c o s a - s i n ( d ) ( c   -   a ) ) ( x   -   a )

Simplificando:

s i n x = s i n a + c o s a x   -   a - s i n ( d ) ( x   -   a )

Agora, notamos que | s i n d | está entre 0 e 1 para qualquer d, o que nos permite escrever:

s i n d x   -   a ≤   | x   -   a |

Substituindo novamente na equação, temos:

s i n x = s i n a + c o s a x - a - s i n d x - a ≤ s i n a + c o s a x - a + | x - a |

Passo 3

Agora, aplicando a fórmula de Taylor com forma integral para cos ⁡ x e observando que a derivada n - é s i m a de c o s x é   c o s ( x )   o u   - s i n ( x ) , dependendo da paridade de n , podemos escrever:

c o s a = c o s x - sin ⁡ c 1 ! a   -   x + cos ⁡ d 2 ! a   -   x 2 - … + 1 n sin ⁡ e n ! a - x n +   R n ( x )

Onde c ,   d   e e estão entre x   e   a

Substituindo cos ⁡ ( a ) na desigualdade, temos:

s i n x ≤ cos ⁡ x - sin ⁡ c 1 ! a - x + cos ⁡ d 2 ! a - x 2 - … + - 1 n sin ⁡ e n ! a - x n   +   R n x   +   c o s x x - a + | x   -   a |

Simplificando:

s i n x ≤   c o s x x - a + x -   a + R n ( x )

Agora, sabemos que c o s x ≤ 1 , então podemos escrever:

s i n x ≤ x   -   a + | x   -   a |   +   R n ( x )

s i n x ≤   2 | x - a | + R n ( x )

Passo 4

Por fim, notamos que R n x ≤ x n + 2 n + 2 ! de acordo com o Teorema do Resto de Lagrange.

Juntando tudo, temos:

s i n x - P n x ≤   2 x   -   a + x n + 2 n + 2 !

onde P n x é o polinômio de Taylor de ordem n da função sin ⁡ ( x ) centrado em x = a .

Agora, considere a = 0 para simplificar. Assim, obtemos:

s i n x - P n x ≤ 2 | x | + x n + 2 n + 2 !

s i n x - P n x ≤ | x | + 2 + x n + 2 n + 2 !

Observe que 2 + x n + 2 n + 2 !   é constante, dependendo apenas de n   e não depende do valor de x

Portanto, podemos escrever:

s i n x - P n x ≤   C | x |

onde C é uma constante que depende apenas de n .

Isso mostra que a desigualdade é válida para todo x ∈ R .

Resposta

Isso mostra que a desigualdade é válida para todo x ∈ R .

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