Mostre que a curva γ ( t )   =   ( c o s   t ,   s i n   t c o s   t ) ,   t   ∈   R tem duas tangentes em (0, 0) e ache suas equações. Faça um esboço da curva.

Passo 1

O vetor tangente a uma curva é dada por

d y d x = d y d t d x d y

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Começando por y:

y = s i n   t   c o s   t  

d y d t = t   - t   = c o s   2 t  

Agora a derivada de x:

x = c o s   t  

d x d t = - s i n   t  

Agora substituindo na formula

d y d x = d y d t d x d t = - c o s   2 t   s i n   t  

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangência ( 0,0 ) . Para isso é necessário igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = c o s   t   = 0

y = s i n   t   c o s   t   = 0

Dai temos que

t = π 2

Ou

t = 3 π 2

Ou seja, temos dois valores possíveis para t correspondentes ao ponto 0,0 .

Substituindo no vetor tangente, temos

t = π 2

d y d x = - c o s   2 t   s i n   t   = 1

t = 3 π 2

d y d x = - c o s   2 t   s i n   t   = - 1

Assim, temos dois vetores tangentes, logo, vamos ter duas retas tangentes no ponto procurado.

Nossa equação da reta tangente fica então igual a:

y - y 0 = d y d x x - x 0

y - 0 = ± x - 0

y = x

y = - x

E

Resposta

y = x

y = - x

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