1) Seja f : [ 0 ,   ∞ [ → R dada por f x = x .

a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno de x 0 = 4 .

b) Use o item anterior para obter uma aproximação, na forma de fração irredutível, de 4,8 . Mostre também que o erro cometido nesta aproximação é inferior, em módulo, a 1,25 ⋅ 10 - 4 .

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

a) Bom, a pede pra gente determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno de x 0 = 4 . Então teremos que calcular as derivadas até a terceira ordem e aplicar na relação do polinômio de Teylor.

Vem comigo que te mostro como.

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x :

Sendo

f x = x = x 1 / 2

f ' x = x - 1 2 2 = 1 2 x 1 2

f ' ' x = - 1 4 x - 3 2 = - 1 4 x 3 2

f ' ' ' x = 3 x - 5 2 8 = 3 8 x 5 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 4 = 4 = 2

f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

f ' ' 4 = = - 1 4 4 3 = - 1 32

f ' ' ' 4 = 3 8 4 5 = 3 256

Passo 3

Agora temos que achar cada termo da função:

f 4 = 2

f ' 4 x - 4 1 1 ! = 1 4 x - 4

f ' ' 4 x - 4 2 2 ! = - 1 32 2 ! x - 4 2 = - 1 64 x - 4 2

f ' ' ' 4 x - 4 3 3 ! = 3 256 6 x - 4 3 = 3 1536 x - 4 3

Passo 4

O polinômio vai ficar:

P 3 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2 + 3 1536 x - 4 3

Passo 5

Na letra b) termos que calcular usando o polinômio de Taylor encontrado uma aproximação, na forma de fração irredutível, de 4,8 . Então faremos:

P 3 4,8 = 2 + 1 4 4,8 - 4 - 1 64 4,8 - 4 2 + 3 1536 4,8 - 4 3

P 3 4,8 = 2 + 0,2 - 0,01 + 0,001

P 3 4,8 = 2,191

Passando pra fração teremos:

P 3 4,8 = 2,191 = 2191 1000

Passo 6

Para o cálculo do erro podemos considerar a função:

f x = x

Nossas condições nos dão como ponto para aproximar o x = 4 , já que f ( 4 ) está próximo de f ( 4,8 ) .

Para a ordem 3 pedida, o erro estará associado a ordem seguinte:

E x = f ' ' ' ' c 4 ! x 4

Para substituir, derivamos 4 vezes, assim:

f ' ' ' ' x = - 15 16 x 7 2

Substituindo:

E x = - 15 16 c 7 2

Para a distância escolhida:

E 4,8 = - 15 16 c 7 2 24 0 . 8 4

E 4,8 = - 15 384 c 7 2 0.8 4

Passo 7

Temos que 4 < c < 4 . 8 , então:

- 15 384 ⋅ 4 7 2 0.8 4 < E 0 . 8 < - 15 384 ⋅ 4,8 7 2 0.8 4

- 6,144 49152 < E 0 . 8 < - 6,144 93041,25

0,00066 > E 0 . 8 > 0 , 000 1 2 5

É um erro bem, bem pequeno.

Resposta

Resposta:

a)

P 3 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2 + 3 1536 x - 4 3

b)

P 3 4,8 = 2,191 = 2191 1000

E

0,00066 > E 0.8 > 0,000125

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0