Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x 0 dado.

f x = sen ⁡ x ,   x 0 = π 4

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f x e aplicar o ponto x 0 = π 4 , vamos lá:

f x = sen ⁡ x → f π 4

Vamos lembrar quem é π 4 através de uma regra de três:

360 ° - - - 2 π

x - - - - π 4

x = π 4 360 2 π = 90 π 2 π = 45 °

Opa, e sabemos quanto vale s e n 45 ° = 2 / 2 , certo?

Logo,

f π 4 = 2 / 2

f ' x = f ' sen ⁡ x = cos ⁡ x

f ' π 4 = 2 2

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - π 4

P x = 2 2 + 2 2 x - π 4

Resposta

P x = 2 2 + 2 2 x - 2 8 π

Exercícios de Livros Relacionados

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0