Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro x = 0.

f   ( x )   =   c o s   ( x )   ,   x   ∈   R .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede pra fazer a expansão de Taylor da função cosseno com centro em x=0. Bem, a gente sabe que uma função f(x) arbitrária pode ser escrita como

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! d n f ( x ) d x ( x - x 0 ) n

Onde d n f ( x ) d x é a n-ésima derivada da função f(x) calculada no ponto x=0 e x 0 aqui é o valor de x ao redor do qual estamos fazendo a expansão. Então para expandir cosseno, a gente vai ter que derivar! Vamos lá!

Passo 2

Se derivarmos cos(x) uma vez, o que obtemos? Obtemos a função -sen(x). E se derivarmos sen(x), o que obtemos? Cos(x)! E se derivarmos mais uma vez, o que obtemos? Sen(x)… Percebeu um padrão? Conforme continuamos a derivar cos(x) obtemos algo proporcional ou a cos(x), se for uma derivada de ordem par, ou sen(x) se for uma derivada de ordem ímpar. Além disso, como sen(x) no ponto x = 0 é nulo, todos os termos da expansão de Taylor que contiverem sen(x) serão nulos! Com isso, a gente tem que a nossa série de Taylor só possui os termos pares, pois esses termos são proporcionais a cos(0), que é 1. Mas tem um sinal chato que fica alternando, percebeu?

d 1 d x c o s ( x ) = - s e n ( x ) , em x = 0, igual à 0

d 2 d x [ - s e n ( x ) ] = - c o s ( x ) , em x = 0, igual à -1

d 3 d x [ - c o s ( x ) ] = s e n ( x ) , em x = 0, igual à 0

d 4 d x s e n ( x ) = c o s ( x ) , em x = 0, igual à 1

E assim por diante. Então, vemos que o primeiro termo não nulo tem valor -1, o segundo 1, o terceiro será -1 e assim por diante. Então, além de poder ignorar os termos de n ímpar, temos um padrão para o sinal dos termos. Com isso em mente, vamos escrever a nossa série!

Passo 3

Como os termos ímpares não contribuem, podemos escrever o n! do denominador como 2n, pois assim, para qualquer n do somatório, garantimos que o fatorial será de um número par. Além disso, como para o primeiro termo não nulo, o coeficiente é igual à -1, para o segundo termo não nulo, o coeficiente não nulo é 1, para o terceiro termo não nulo o coeficiente é igual à -1 (e assim por diante), podemos escrever essa alternância de sinal com a ordem do termo não nulo como ( - 1 ) n . Juntando essas informações, podemos escrever a série de Taylor centrada em x = 0 como

c o s ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n ! x 2 n

Resposta

c o s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 n ! x 2 n

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0