Aproxime 7,1 5 2 usando polinômios de Taylor de f x = x 5 2 de ordem 1 ,   2 e 3 .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão precisamos encontrar uma aproximação para o número:

7,1 5 2

Usando o polinômio de Taylor de ordem 1,2   e 3 .

Bom, antes de escrever o polinômio de Taylor precisamos escolher em torno de qual valor a função estará centrada e qual o valor de x no polinômio nos dará a aproximação pedida.

Como queremos calcular:

f ( 7,1 ) = 7,1 5 2

Podemos tomar o centro da função em x 0 = 7 .

E, o ponto que queremos calcular:

x = 7 , 1

Assim, temos uma função que não está centrada em 0 . Daí, o polinômio de Taylor fica:

o r d e m   1 → p 1 x = f x 0 + f ' x 0 ⋅ ( x - x 0 )

o r d e m   2 → p 2 x = f x 0 + f ' x 0 ⋅ ( x - x 0 ) + f ' ' x 0 2 ⋅ ( x - x 0 ) 2

o r d e m   3 → p 3 x = f x 0 +   f ' x 0 ⋅ ( x - x 0 ) + f ' ' x 0 2 ⋅ ( x - x 0 ) 2 + f ' ' ' x 0 3 ! ⋅ ( x - x 0 ) 3

Tudo tranquilo até aqui?

Passo 2

Vamos calcular as derivadas da nossa função f ( x ) para depois substituirmos os pontos pedidos.

Temos:

f x = x 5 2

∴ f ' x = 5 2 ⋅ x 3 2

Derivando mais uma vez:

f ' ' x = 5 2 ⋅ 3 2 ⋅ x 1 2

= 15 4 ⋅ x 1 2

E, derivando uma última vez:

f ' ' ' x = 15 4 ⋅ 1 2 ⋅ x - 1 2

= 15 8 x

Massa!

Passo 3

Vamos então substituir nas expressões dos polinômios de ordem 1 , 2 e 3 que comentamos no passo 1 .

o r d e m   1 → p 1 x = f 7 + f ' 7 ⋅ ( 7 , 1 - 7 )

∴ p 1 7 , 1 = 7 5 2 + 5 2 ⋅ x 3 2 ⋅ ( 7 , 1 - 7 )

= 134,2719

Já para a ordem 2 , temos:

o r d e m   2 → p 2 x = f x 0 + f ' x 0 ⋅ x - x 0 + f ' ' x 0 2 ⋅ x - x 0 2

p 2 x = 7 5 2 + 5 2 ⋅ x 3 2 ⋅ 7,1 - 7 + 15 4 ⋅ 7 1 2 2 ⋅ ( 7,1 - 7 ) 2

= 134,3215

E, por fim, para a ordem 3 :

o r d e m   3 → p 3 x = f x 0 +   f ' x 0 ⋅ x - x 0 + f ' ' x 0 2 ⋅ x - x 0 2 + f ' ' ' x 0 3 ! ⋅ x - x 0 3

p 3 x = 7 5 2 + 5 2 ⋅ x 3 2 ⋅ 7,1 - 7 + 15 4 ⋅ 7 1 2 2 ⋅ 7,1 - 7 2 + 15 8 7 6 ⋅ 7,1 - 7 3  

= 134,3216

Muito bom pessoal!

Algo interessante da gente observar é que conforme vamos aumentando o grau do polinômio de Taylor, mais nos aproximamos do valor real de 7 5 2 .

Mas é isso gente, obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

o r d e m   1 → 134,2719

o r d e m   2 → 134,3215

o r d e m   3 → 134,3216

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