c. Mostre que | e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   e x 2 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) !   , ∀ x   ∈   R .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que provar a seguinte relação:

| e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   e x 2 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) !  

Temos que o erro para a aproximação da expansão de Taylor P ( x ) em torno de um x 0 , possui a seguinte relação:

E n = | f ( x )   − P ( x ) |         ≤   | f ( n + 1 ) ( c ) ( x - x 0 ) ( n + 1 ) | ( n + 1 ) !  

Vamos utilizar essa relação para provar o que foi solicitado no enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Temos que:

| e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   | f ( n + 1 ) ( c ) ( x 2 - x 0 ) ( n + 1 ) | ( n + 1 ) !  

temos que P ( x ) é a expansão de Taylor de f ( x 2 ) = e x 2 , em torno de x 0 = x 2 = 0 , então

f ( n + 1 ) ( c ) ( x 2 - x 0 ) ( n + 1 ) = e x 2 x 2 ( n + 1 ) > 0 .

Assim, temos que

| e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   e x 2 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) !   .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0