Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

UFRJ-P1-2010.2-D1

Um anel circular, muito fino, de raio R , encontra-se em repouso no plano X Y , com seu centro na origem. Tal anel possui carga total Q , uniformemente distribuída.

  1. Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z , com cota arbitrária z .
  2. Considere agora um bastão retilíneo, muito fino, em repouso, situado no eixo Z , entre z = a > 0 e z = b > a . Tal bastão também possui carga total Q , uniformemente distribuída. Calcule o vetor força elétrica sobre tal bastão devido ao anel. (Sugestão: a força sobre o bastão constitui-se da soma vetorial das forças sobre cada elemento infinitesimal do bastão carregado).

Passo 1

Pegando uma partícula infinitesimal d q podemos escrever a expressão do seu campo:

d E → = k d q r 2 r ^

Decompondo nas duas componentes:

d E → = d E x i ^ + d E y j ^ + d E z k ^

Integramos:

E → = ∫ anel   d E x x ^ + d E y y ^ + d E z z ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos utilizar argumentos de simetria para justificar que só existe componente em z :

∫ anel   d E x i ^ = ∫ anel   d E y j ^ = 0

Continuando:

E → = ∫ anel   d E z z ^

Encontramos a componente z por decomposição:

d E z = k d q R 2 + z 2 cos ⁡ ϕ

d E z = k d q R 2 + z 2 z R 2 + z 2

Lembrando que o triângulo é retângulo na origem dos eixos coordenados, e não onde está a carga d q .

Passo 3

Além disso, como a gente quer o campo no eixo z , que é o eixo de simetria do anel, note como o campo não depende das coordenadas x e y . O anel está no plano X Y , então podemos tirar da integral um tanto de coisas:

E → = ∫ anel   k   d q R 2 + z 2 z R 2 + z 2 z ^

E → = k R 2 + z 2 z R 2 + z 2 z ^ ∫ anel   d q

E → = k z R 2 + z 2 3 / 2 z ^ ∫ anel   d q

A integral da carga no anel dá a sua carga total:

E → = k Q z R 2 + z 2 3 / 2 z ^

Passo 4

Agora pra calcular a força é só montar a equação da força infinitesimal que o campo faz numa carga infinitesimal (Lei de Coulomb):

d F → = d q   E →

Integrando na barra toda:

F → = ∫ a b E → d q

Substituindo:

F → = ∫ a b k Q z R 2 + z 2 3 2 z ^ d q

Passo 5

Agora atenção! Trocamos o diferencial de carga pela equação da densidade da barra:

d q = λ d z

Sabemos que a distribuição de carga é uniforme, portanto isto implica numa densidade constante igual à:

λ = Q total L total = Q b - a

Que é a carga total pelo comprimento total. Logo:

d q = Q b - a d z

Integrando:

F → = ∫ a b k Q z R 2 + z 2 3 2 z ^ Q b - a z ^   d z

F → = k Q 2 b - a z ^ ∫ a b z R 2 + z 2 3 2 z ^ d z

Passo 6

Fazemos substituição simples:

v = R 2 + z 2 → d v = 2 z   d z

A indefinida fica:

I * = ∫ ( d v / 2 ) v 3 / 2

I * = 1 2 ∫ v - 3 2 d v

I * = 1 2 × - 2 × v - 1 2

I * = - 1 v

Passo 7

Logo:

F → = k Q 2 b - a z ^ - 1 R 2 + z 2 a b

F → = - k Q 2 b - a 1 R 2 + b 2 - 1 R 2 + a 2 z ^

Fica ligado de não esquecer esse sinal de menos na frente de tudo. E é só!

Resposta

a)

E → = k Q z R 2 + z 2 3 / 2 z ^

b)

F → = - k Q 2 b - a 1 R 2 + b 2 - 1 R 2 + a 2 z ^

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