Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

UFRJ – Física 3 – 2019.2 – 2º CH

1 . Considere uma barra fina, retilínea e isolante, de comprimento L , disposta sobre o eixo X de um sistema de coordenadas com uma de suas extremidades sobre a origem, como mostra a figura abaixo. Ela encontra-se carregada com uma densidade linear de carga estacionária, mas não-uniforme dada por λ ( x ) = λ 0 ( x / L ) , onde λ 0 é uma constante positiva.

( a ) Determine a carga total da barra.

( b ) Determine o vetor campo elétrico em um ponto P sobre o eixo X , localizado a uma distância a ( a > L ) da extremidade da barra que está sobre a origem O .

Passo 1

Então galera, vamos acabar com esse problema!

Para determinar a carga total da barra temos que considerar um elemento de comprimento infinitesimal da barra dado por d x .

Fazemos isso porque como temos a densidade linear de carga podemos escrever um elemento de carga da barra como:

d q = λ x d x

Com isso basta integrar d q em todo comprimento da barra teremos a carga total da barra.

Para encontrar o campo elétrico no ponto P vamos considerar o mesmo elemento de carga d q e considerar que ele se encontra a uma distância r = a - x do ponto P .

Então o elemento de campo elétrico gerado por esse elemento de carga em P é dado por:

d E → = k 0 d q r 2 r ^

⇒ d E → = k 0 d q ( a - x ) 2 x ^

Então para encontrar a contribuição de toda a barra sobre o ponto P basta integrarmos essa expressão em todo o comprimento L da barra.

Mãos à obra então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) , temos:

d q = λ x d x

Mas o enunciado nos diz que:

λ ( x ) = λ 0 x L

Então temos:

d q = λ 0 x L d x

Assim a carga total é:

Q = ∫ 0 L λ 0 x L d x

= λ 0 L ∫ 0 L x   d x

= λ 0 L x 2 2 0 L

Então temos que:

Q = λ 0 L L 2 2 - 0

⇒ Q = λ 0 L 2

Prontinho encontramos a carga a total!

Passo 3

Vamos agora encontrar o campo elétrico causado pela barra em P , como vimos no passo 1 a contribuição de um elemento de carga d q é:

d E → = k 0 d q ( a - x ) 2 x ^

Usando o fato de que

d q = λ 0 x L d x

Temos que:

d E → = k 0 λ 0 ( x / L ) a - x 2 d x   x ^

Agora temos que o campo causado por toda a barra é dado por:

E → = ∫ 0 L d E →

⇒ E → = ∫ 0 L k 0 λ 0 ( x / L ) a - x 2 d x   x ^

= k 0 λ 0 L x ^ ∫ 0 L x a - x 2 d x

= k 0 λ 0 L x ^ a a - x + ln ⁡ a - x 0 L

Então temos:

E → = k 0 λ 0 L x ^ a a - L + ln ⁡ a - L - 1 - ln ⁡ ( a )

⇒ E → = k 0 λ 0 L L a - L + ln ⁡ a - L a x ^

Conseguimos encontrar o vetor campo elétrico em um ponto P .

Resposta

( a )

Q = λ 0 L 2

( b )

E → = k 0 λ 0 L L a - L + ln ⁡ a - L a x ^

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas