Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 45-23.

A figura abaixo mostra dois anéis não condutores paralelos, com os centros sobre a mesma reta perpendicular aos planos dos anéis. O anel 1 , de raio R , possui uma carga uniforme q 1 ; O anel 2 , também de raio R , possui uma carga uniforme q 2 ; Os anéis estão separados por uma distância d = 3 R . O campo elétrico no ponto P situado na reta que passa pelos centros dos anéis a uma distância R do anel 1 é zero. Determine a razão q 1 / q 2 .

Passo 1

Primeiramente, vamos pensar em pedacinhos de carga opostos no anel e no campo elétrico que eles causam em um ponto P no eixo do anel:

Esses pedacinhos de carga representados pelos pontos verde e roxo no anel geram dois vetores de campo elétrico. Vamos olhar esses dois vetores mais de perto:

Você percebe comigo que decompondo esses vetores na direção do raio do anel ( E 1 r →   e   E 2 r → ) , eles terão o mesmo módulo e direções opostas, ou seja, se cancelam. Enquanto as componentes na direção da reta do ponto P ( E 1 y →   e   E 2 y → ) , como temos vetores na mesma direção, teremos a soma de seus módulos.

Dessa forma pela simetria do problema, que o campo elétrico resultante E R se encontra sobre o eixo que liga os centros dos dois anéis, que chamaremos de X . Assim:

E R = E X

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O campo resultante em P deverá ser zero. Como cada um está de um lado diferente do ponto P , a diferença entre os campos deverá ser nula:

E X 1 - E X 2 = E X = 0 → E X 1 = E X 2

Passo 3

A nossa estratégia aqui vai ser a seguinte: vamos começar calculando a contribuição infinitesimal de cada pedacinho dos anéis, em cada anel, na determinação do campo elétrico total. Começando pelo primeiro anel:

d E 1 = K . d q 1 D 1 2

A distâncias D 1 é a distância de um ponto qualquer do primeiro anel ao ponto P . Como podemos ver na figura abaixo:

Por ser um triângulo retângulo, sabemos que a distância D 1 é igual a:

D 1 = R 2 + R 2 = 2 R

Passo 4

Pela mesma figura, podemos projetar cada o campo d E 1 no eixo de simetria X , para encontrar d E X 1 :

d E 1 X = d E 1 . c o s θ 1 = d E 1 . R D 1

Como sabemos que D 1 = 2 R   :

d E 1 X = d E 1 . 1 2

Substituindo d E 1 =   K . d q 1 D 1 2 :

d E 1 X =   K . d q 1 D 1 2 . 1 2

d E 1 X =   K . d q 1 2 R 2 . 1 2

Para encontrar o módulo do campo E 1 X , vamos integrar:

E 1 X = ∫ K 2 2 R 2 d q 1 = K 2 2 R 2 . ∫ d q 1 = K q 1 2 2 R 2

Pronto, um campo elétrico já foi! Vamos repetir o processo para o outro anel!

Passo 5

Cada pedacinho infinitesimal de carga do anel 2 d q 2 irá gerar uma parcela do campo elétrico no ponto P igual a d E 2 :

d E 2 = K . d q 2 D 2 2

Onde D 2 é a distância entre o ponto P e essa carga infinitesimal do anel:

D 2 = R 2 + d - R 2

Como d = 3 R :

D 2 = R 2 + ( 3 R - R ) 2 = 5 R

Passo 6

Pela mesma figura, podemos projetar cada o campo d E 2 no eixo de simetria X .

d E 2 X = d E 2 . c o s θ 2

Percebemos que c o s θ 2 é igual a:

c o s θ 2 = d - R D 2 = 2 R 5 R = 2 5

Substituindo d E 2 e c o s θ 2 :

d E 2 X =   K . d q 2 D 2 2   . 2 5  

Como D 2 = 5 R , o módulo do campo d E 2 X :

d E 2 X = 2 K 5 5 R 2 d q 2

Boa! Agora só temos que integrar o campo infinitesimal encontrado:

E 2 X = ∫ 2 K 5 5 R 2 d q 2 = 2 K 5 5 R 2 . ∫ d q 2   = 2 K q 2 5 5 R 2

Passo 7

Pra fechar, basta igualar esses dois campos, conforme concluímos lá no Passo 2.

E 1 X = E 2 X

K q 1 2 2 R 2 = 2 K q 2 5 5 R 2

Cortando a constante K e o raio R :

q 1 q 2 = 4 . 2 5 5 = 0,506   ( a p r o x . )  

Resposta

0,506

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas