Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

PUCRIO – Física 3 2020.1 – G1– Questão 7

A fita cuja seção transversal está mostrada na Figura tem largura 2 w , espessura desprezível e comprimento infinito ao longo do eixo z. Está carregada com a densidade superficial de carga σ x = σ 0 ( | x | / w ) onde σ 0 é constante e positiva ( C / m 2 ) .

  1. Inicialmente, determine uma expressão geral para o vetor campo elétrico devido a um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga λ positiva ( C / m ), observando seu módulo e sentido em cada ponto do espaço.
  2. Em seguida, considere que a fita pode ser decomposta em fios de espessuras infinitesimais. Finalmente, use o resultado do item anterior para determinar o vetor campo elétrico (módulo e sentido) devido à fita em um ponto de observação P arbitrário do eixo y situado acima dela e que dista y 0   ( >   0 ) da origem.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Vamos supor uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r , altura h em torno no fio. O campo elétrico é:

E 2 π r h = q i n t ϵ 0 = λ h ϵ 0

E = λ 2 π ϵ 0 r r ^

E este campo é radial, ou seja, perpendicular ao fio em cada ponto de observação e se afasta dele.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra (b):

Para essa combinação de fios, vamos precisar de um desenho para verificar a simetria do problema.

A figura acima mostra que a combinação de dois fios simétricos em relação à origem produz um campo no sentido + y ^ . As componentes horizontais dos campos são canceladas, então apenas a componente E y do campo será considerada.

Lembrando que d q = σ L d x , o diferencial de campo é:

d E y = σ d x 2 π ϵ 0 1 x 2 + y 0 2 c o s θ = 1 2 π ϵ 0 1 x 2 + y 0 2 σ 0 x d x w y 0 x 2 + y 0 2

E agora vamos integrar de – w até w , ou duas vezes de 0 até w (que é o que vou escolher, por simplicidade):

E y y 0 = σ 0 y 0 2 π ϵ 0 w ∫ 0 w 2 x d x x 2 + y 0 2

E y y 0 = σ 0 y 0 2 π ϵ 0 w ln ⁡ w 2 + y 0 2 y 0 2 = σ 0 y 0 2 π ϵ 0 w ln ⁡ 1 + w 2 y 0 2

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a ) E = λ 2 π ϵ 0 r r ^

b )   E y y 0 = σ 0 y 0 2 π ϵ 0 w ln ⁡ 1 + w 2 y 0 2

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