1 0 . Um anel circular fino, isolante, de raio R é posicionado sobre o plano de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem. Ele encontra-se uniformemente carregado e possui carga total Q . Uma barra fina, isolante, de comprimento 2 R é posicionada sobre o eixo X positivo com sua extremidade mais próxima do anel a uma distância R da origem. A barra também encontra-se uniformemente carregada e possui carga total Q . Nessa situação, qual é o módulo da força elétrica que o anel exerce sobre a barra?

Sugestão: Divida a barra em elementos infinitesimais de carga e considere a força que o campo elétrico gerado pelo anel exerce sobre cada elemento.

Dado: O campo elétrico produzido pelo anel em pontos sobre o eixo é dado por: E → = k 0 Q x x 2 + R 2 3 / 2 x ^

Escolha uma opção:

a . k 0 Q 2 R 2 5 - 1 10

b . k 0 Q 2 R 2 3 - 1 2 6

c . k 0 Q 2 R 2 6 - 5 3 0

d . k 0 Q 2 R 2 3 - 1 6

e . k 0 Q 2 R 2 2 - 1 10

f . 2 k 0 Q 2 R 2 6 - 5 3 0

g . k 0 Q 2 R 2 5 - 1 2 10

h . 2 k 0 Q 2 R 2 2 - 1 10

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Vamos considerar a força que elemento d x da barra sofre pelo anel, ela pode ser escrita da seguinte forma:

d F → = E d q

Onde E é o campo elétrico do anel sobre a barra e d q é um elemento de carga da barra.

Esse elemento de carga é dado pela densidade linear de carga da barra vezes um elemento de comprimento d x , assim:

d q = λ d x

A densidade linear de carga é dada pela carga total da barra dividida pelo comprimento da barra, assim:

d q = Q 2 R d x

Então a força que cada elemento da barra sofre é dada por:

d F = k 0 Q x x 2 + R 2 3 / 2 Q 2 R d x

Então para saber a força total que a barra sofre pelo anel, vamos integrar dos dois lados, onde o lado direto vai variar de R (distância do anel até a barra) até 3 R (a distância entre o anel e barra mais o comprimento da barra).

Vamos fazer essas contas!

Passo 2

Temos o seguinte:

∫ d F = ∫ R 3 R k 0 Q x x 2 + R 2 3 / 2 Q 2 R d x

⇒ F = k 0 Q 2 2 R ∫ R 3 R x x 2 + R 2 3 / 2 d x

Para a gente fazer essa integral vamos usar a seguinte substituição:

u = x 2 + R 2

d u = 2 x   d x

Os limites de integração ficam:

u = 2 R 2

u = 10 R 2

Então temos o seguinte:

F = k 0 Q 2 2 R ∫ 2 R 2 10 R 2 1 2 1 u 3 / 2   d u

Passo 3

Resolvendo essa integral que chegamos, temos:

F = k 0 Q 2 4 R - 2 u 2 R 2 10 R 2

= k 0 Q 2 4 R - 2 R 10 + 2 R 2

= k 0 Q 2 2 R 2 - 1 10 + 1 2

= k 0 Q 2 2 R 2 10 - 2 2 0

Mexendo mais um pouco:

F = k 0 Q 2 2 R 2 10 - 2 2 1 0

⇒ F = k 0 Q 2 R 2 5 - 1 2 10

Essa é a força que o anel faz sobre a barra, então nossa alternativa é a letra g .

Resposta

g . k 0 Q 2 R 2 5 - 1 2 10

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