Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Um plano condutor infinito e aterrado, ou seja, mantido a um potencial eletrostático zero, é posicionado sobre o plano y z de um sistema de coordenadas. Uma partícula de carga q > 0 é posicionada sobre o eixo x , na porção x > 0 , a uma distância d do plano, como mostrado na figura abaixo. Sabe-se que, quando o sistema partícula + plano está em equilíbrio eletrostático, o campo eletrostático na região x > 0 é idêntico ao produzido por outro sistema onde o plano é substituído por uma segunda partícula, de carga - q , colocada na posição correspondente à imagem especular da primeira partícula com relação ao plano.l

(a) Determine a força eletrostática (módulo, direção e sentido) que o plano exerce sobre a partícula.

(b) Determine o campo eletrostático (módulo, direção e sentido) produzido pelo sistema partícula + plano em um ponto P arbitrário sobre o plano y z , a uma distância s da origem. Considere que este ponto está na vizinhança externa do plano na porção x > 0 .

(c) Utilizando o resultado do item anterior, determine a densidade superficial de carga induzida sobre o plano no ponto P . Interprete o resultado.

Passo 1

Vamos, inicialmente, analisar o que ocorre na região x > 0 ao substituirmos o plano por uma partícula de carga - q posicionada em x = - d .

Sabemos que a força eletrostática que o plano exerce sobre a partícula é idêntica à força entre as duas cargas + q e - q , separadas por uma distância 2 d . Utilizando a lei de Coulomb, temos que:

F → = 1 4 π ϵ 0 q - q 2 d 2 i ^ ,

F → = - 1 16 π ϵ 0 q 2 d 2 i ^ .

Essa força tem caráter atrativo, o que indica que deve haver uma indução de cargas negativas sobre o plano.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Utilizando o sistema auxiliar, vemos que o campo eletrostático produzido na vizinhança externa do plano y z na região x > 0 será como o de um dipolo elétrico simples. Como esse plano é uma superfície equipotencial, o campo eletrostático deve ser perpendicular a ele e apontar no sentido negativo do eixo x .

Além disso, como pontos sobre o plano a uma mesma distância s da origem estão equidistantes das duas partículas, vemos que, por simetria, o campo eletrostático deve ser o mesmo nesses pontos. Assim sendo, basta considerarmos um ponto P sobre o eixo Y , como mostrado na figura abaixo.

Pelo princípio da superposição, o campo eletrostático resultante E → deve ser a soma vetorial dos campos produzidos por cada carga. Como o sistema é simétrico, as componentes verticais desses campos se cancelam. Assim sendo, temos que:

E → = E + → + E - → = - 2 E + cos ⁡ θ i ^ ,

E → = - 2 1 4 π ϵ 0 q r 2 cos ⁡ θ i ^ .

Como r 2 = s 2 + d 2 e cos ⁡ θ = d / r , obtemos:

E → = - 1 2 π ϵ 0 q d s 2 + d 2 3 2 i ^ .

Passo 3

Sabemos que o campo eletrostático na vizinhança externa da superfície de um condutor em equilíbrio é dado por E → = σ / ϵ 0 n ^ , onde σ é a densidade superficial de carga do condutor e n ^ é o vetor unitário perpendicular à superfície naquele ponto, apontando para fora do condutor.

Na questão, temos que n ^ = i ^ , de modo que a densidade superficial de carga no ponto P é dada por:

σ s = - 1 2 π q d s 2 + d 2 3 2 .

Bem, vamos analisar o resultado: σ ( s ) é não-uniforme e negativa em todos os pontos sobre o plano. Assim sendo, a partícula carregada induz cargas de sinal oposto sobre o plano, dando origem à força atrativa que obtivemos no item (a).

Resposta

(a) F → = - 1 16 π ϵ 0 q 2 d 2 i ^ .

(b) E → = - 1 2 π ϵ 0 q d s 2 + d 2 3 2 i ^ .

(c) σ s = - 1 2 π q d s 2 + d 2 3 2 .

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