Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

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Enunciado

Na figura abaixo duas barras isolantes muito finas, ambas de comprimento L , estão uniformemente carregadas. Uma das barras possui carga Q e a outra barra possui carga desconhecida. As barras estão posicionadas em direções perpendiculares, conforme a figura.

a ) Determine o vetor campo elétrico E → (módulo, direção e sentido) no ponto P produzido pela barra de carga Q ;

b ) Sabendo que ao colocar uma partícula carregada positivamente em P , a força exercida sobre esta faz um ângulo de 150 ° com o eixo x , calcule a componente y do campo elétrico total;

c ) Determine a densidade linear de carga da barra cuja carga é desconhecida;

Passo 1

a ) Determine o vetor campo elétrico E → (módulo, direção e sentido) no ponto P produzido pela barra de carga Q ;

O primeiro passo é escrever a expressão do campo elétrico d E → gerado por uma carga infinitesimal d q , dado por:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2   r ^

Graficamente, a ideia é essa:

Onde:

d q = λ d x → d q = Q L d x

r = a + x

r ^ = - x ^

Fazendo essas alterações:

d E → = - Q 4 π ϵ 0 L d x a + x 2   x ^

Passo 2

Pra finalizar, temos apenas que integrar esse cara entre 0 e L :

E → = - Q 4 π ϵ 0 L ∫ 0 L d x a + x 2 x ^

E → = - Q 4 π ϵ 0 L - 1 a + x 0 L x ^

E → = Q 4 π ϵ 0 L 1 a + x 0 L x ^

E → = Q 4 π ϵ 0 L 1 a + L - 1 a x ^

E → = Q 4 π ϵ 0 L - L a a + L x ^

Finalmente:

E → = - Q 4 π ϵ 0 a a + L x ^

Passo 3

b ) Sabendo que ao colocar uma partícula carregada positivamente em P , a força exercida sobre esta faz um ângulo de 150 ° com o eixo x , calcule a componente y do campo elétrico total;

Como a partícula colocada no ponto P está carregada positivamente, a força elétrica resultante necessariamente vai apontar na mesma direção e sentido do campo elétrico resultante. Isso significa que o campo elétrico resultante fará um ângulo de 150 ° com o eixo x .

Além disso, o campo elétrico resultante será a soma vetorial dos campos elétricos das barras horizontal E → x (que calculamos na letra a ) e vertical E → y (que é o que queremos calcular).

Graficamente, o que acontece é o seguinte:

Olhando somente para os vetores:

Assim, podemos dizer que:

tan ⁡ 60 ° = E x E y

E y = E x tan ⁡ 60 °

E y = E x 3 = 3 3 E x

E y = 3 3 Q 4 π ϵ 0 a a + L

Finalmente:

E y = 3 Q 12 π ϵ 0 a a + L

Passo 4

c ) Determine a densidade linear de carga da barra cuja carga é desconhecida;

Bom, a barra vertical tem o mesmo comprimento L , e a densidade de carga linear é dada por:

λ ' = Q ' L

Então o nosso trabalho aqui é calcular a carga da barra vertical.

O campo elétrico gerado por essa barra, no ponto P , vai ter a mesma cara do campo elétrico gerado pela barra horizontal, a única diferença é que chamaremos a carga da barra vertical de Q ' , logo:

E y = Q ' 4 π ϵ 0 a a + L = 3 Q 12 π ϵ 0 a a + L

Simplificando esses caras, teremos:

Q ' = 3 3 Q

Portanto:

λ ' = Q ' L = 3 3 Q L = 3 3 Q L  

λ ' = 3 3 λ

Resposta

a )

E → = - Q 4 π ϵ 0 a a + L x ^

b )

E y = 3 Q 12 π ϵ 0 a a + L

c )

λ ' = 3 3 λ

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