Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Um fio e um plano, ambos infinitos, carregados eletricamente, são posicionados paralelamente como ilustrado na figura.

As densidades de carga do fio e do plano valem - λ e + η , respectivamente, onde λ e η são números positivos. O local onde a intensidade do campo elétrico resultante é nulo:

a se localiza em um outro plano (paralelo ao plano carregado) que cruza o eixo z na posição d + λ / ( π η ) .

b se localiza ao longo de outra reta (paralela ao fio) que cruza o eixo z na posição d + λ / ( π η ) .

c se localiza em um outro plano (paralelo ao plano carregado) que cruza o eixo z na posição d + π ( λ / η ) .

d se localiza ao longo de outra reta (paralela ao fio) que cruza o eixo z na posição d + π ( λ / η ) .

e se localiza ao longo de outra reta (paralela ao fio) que cruza o eixo z na posição d - π ( λ / η ) .

Passo 1

Analisando o problema de lado, olhando somente o plano y z , teremos o seguinte:

Estamos analisando esse plano pois, somente sobre esse plano as linhas de campo do fio e do plano terão as mesmas direções.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o fio está carregado negativamente, as linhas de campo estarão entrando nele. E como o plano está carregado positivamente, as linhas de campo estarão saindo dele, se liga:

Assim, o campo poderá ser nulo somente no plano y z ou acima do fio, ou abaixo do plano. Para saber o ponto exato, precisamos avaliar a equação de cada campo.

Passo 3

O campo gerado por um fio infinito de densidade linear de carga - λ é dado por:

E → F = - λ 2 π ϵ 0 r   z ^

Onde r é a distância entre o fio e o ponto onde estamos medindo o campo elétrico. Lembra como chega nessa expressão? Vou dar um bizu aqui rápido mas a gente tem isso melhor explicado na teoria!

Esse fio tem simetria cilíndrica, então vamos usar uma gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L que tem seu eixo coincidindo com o fio. Pela lei de Gauss temos

Φ E = ∫ E → d A → = Q i n t ϵ 0

Só vai ter fluxo não nulo de campo elétrico na área lateral da Gaussiana e esse campo sai normal a essa superfície, assim

Φ E = E 2 π r L

Por outro lado, a carga total dentro da gaussiana vai ser a densidade de carga do fio vezes o comprimento do pedaço do fio que tá dentro da gaussiana que é L

Q i n t = - λ L

Assim

∫ E → d A → = Q i n t ϵ 0 → E 2 π r L = - λ L ϵ 0

Aí quando estamos no plano x y a direção do campo é a direção z ^ , assim

E → F = - λ 2 π ϵ 0 r   z ^

Beleza?

Como o fio está posicionado no ponto z = d , podemos escrever r como:

r = z - d

Logo:

E → F = - λ 2 π ϵ 0 z - d   z ^

E esse campo tá com comportamento certinho, quer ver?

Para z > d a gente vai ter que o campo aponta na direção - z ^ como no nosso desenho.

Para z < d o denominador lá do campo vai ficar negativo e toda a expressão do campo vai estar positiva, ou seja, apontando na direção z ^ . Belezinha?

Passo 4

Já o campo elétrico gerado pelo plano infinito é dado por:

E P → = η 2 ϵ 0 z ^ ,     z > 0 - η 2 ϵ 0 z ^ ,     z > 0

Agora basta avaliar cada região.

Passo 5

Para z > 0 , somando as expressões dos campos elétricos:

E P + E F = 0

η 2 ϵ 0 - λ 2 π ϵ 0 z - d = 0

Agora é só arrumar a bagunça.

η 2 ϵ 0 = λ 2 π ϵ 0 z - d

η = λ π z - d

z - d = λ η π

z = d + λ η π

Opa! Esse resultado é válido, já que esse ponto se encontra acima do fio de cargas.

Passo 6

Para z < 0 , somando as expressões dos campos elétricos:

E P + E F = 0

- η 2 ϵ 0 - λ 2 π ϵ 0 z - d = 0

Agora é só arrumar a bagunça.

η 2 ϵ 0 = - λ 2 π ϵ 0 z - d

η = - λ π z - d

z - d = - λ η π

z = d - λ η π

Como o problema somente nos deu a opção que encontramos no Passo 4, a resposta certa é a letra b .

Resposta

b se localiza ao longo de outra reta (paralela ao fio) que cruza o eixo z na posição d + λ / ( π η ) .

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