Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

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Enunciado

A que distância do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado de 0,600 m de raio o módulo do campo elétrico é igual à metade do módulo do campo no centro do disco?

Passo 1

Observar que, no caso do disco, os componentes infinitesimais que devemos integrar são pequenas rosquinhas de largura d r e raio r como a indicada em verde na figura acima.

A área infinitesimal dessas rosquinhas vale a derivada da área do círculo de raio r em relação a r :

A = π r 2 → d A d r = 2 π r → d A = 2 π r d r

Passo 2

Calcular a carga infinitesimal da região verde, multiplicando a pequena área d A pela densidade superficial de campo, que é constante pois o disco está uniformemente carregado.

d q = σ d A = 2 π r σ d r

Passo 3

Note que a resultante do campo elétrico se encontra no eixo Z , devido à simetria do problema. Isso por que dois pontos do anel radialmente opostos dão campos de mesma intensidades e que somados dão um campo na direção z ^ como na figura abaixo

Então:

E R E S = E Z

Passo 4

Determinar quem é o campo infinitesimal gerado por cada pedacinho verde da figura e substituir d q na equação encontrada.

d E = K d q P M ¯ 2 = K 2 π r σ d r P M ¯ 2 = K 2 π r σ d r z 2 + r 2 2

d E = K 2 π r σ d r z 2 + r 2

Passo 5

Precisamos descobrir E Z , para isso devemos projetar o campo infinitesimal do passo anterior no eixo O z .

d E z = d E cos ⁡ α = d E z P M ¯ = d E z z 2 + r 2 = K 2 π r σ d r z 2 + r 2 z z 2 + r 2

d E z = K . 2 π r σ z d r z 2 + r 2 3 2

Passo 6

Resolvendo a integral:

E z = ∫ r = 0 r = R d E z = ∫ 0 R K 2 π r σ z d r z 2 + r 2 3 / 2

E z = 2 π σ z K ∫ 0 R r . d r z 2 + r 2 3 / 2

Agora o lance é resolver essa integral. GERALMENTE essa integral vem num formulário da sua prova, mas se não vier vamos ensinar aqui você a fazer! Pra isso pega aí aquela sua caneta/lapiseira/lápis especial e me acompanha, belê?

Passo 7

Primeiro de tudo, essa integral não sai direto! Pra isso temos que fazer uma substituição.

Olhando pra ela

∫ 0 R r d r z 2 + r 2 3 / 2

Vamos ter que simplificar esse denominador. Como em cima tem um r d r , a integral tá pedindo pra gente fazer a seguinte substituição

u = z 2 + r 2

De forma que

d u = 2 r d r → r d r = d u 2

E os limites de integração ficam

r = 0 → u = z 2 + 0 2 = z 2

r = R → u = z 2 + R 2

Então a nossa integral vai ficar

∫ 0 R r . d r z 2 + r 2 3 / 2 = ∫ z 2 R 2 + z 2 d u / 2 u 3 / 2 = 1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 u - 3 / 2 d u

Essa integral vai ser

∫ u - 3 / 2 d u = - 2 u - 1 / 2

Assim a nossa integral fica

1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 u - 3 / 2 d u = 1 2 - 2 u - 1 / 2 = - 1 u 1 / 2 z 2 z 2 + R 2 = 1 u 1 / 2 z 2 + R 2 z 2

1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 u - 3 / 2 d u = 1 z 2 - 1 z 2 + R 2

Finalmente

∫ 0 R r . d r z 2 + r 2 3 / 2 = 1 z - 1 z 2 + R 2

Voltando para o nosso campo

E z = 2 π σ z K 1 z - 1 z 2 + R 2

Supondo z > 0 , vamos ter z = z

E z = 2 π K σ 1 - z R 2 + z 2

Passo 8

Determinar o campo elétrico no centro do disco, que ocorre quando z = 0 :

E z = 0 = 2 π . K . σ . 1 - 0 R 2 + 0 = 2 π . K . σ

Queremos saber em que posição o campo vale a metade disso.

Passo 9

Logo:

2 π . K . σ 2 = π . K . σ = 2 π . K . σ . 1 - z R 2 + z 2 →

1 2 = 1 - z R 2 + z 2 →

z R 2 + z 2 = 1 2 →

z = R 3 = 0,600 3 = 0,346   m

Resposta

z = 0,346   m

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