Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

UFRJ- Física 3 – P1 2019.2

Um fio semicircular fino, de raio R, encontra-se no plano z = 0 , com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas e contido nos primeiro e segundo quadrantes, como mostrado na figura abaixo. Ele possui uma densidade linear de carga elétrica constante e positiva λ.

(a) Determine a carga total Q do fio.

(b) Qual(is) componente(s) do vetor campo elétrico resultante em um ponto P = ( 0 ,   0 ,   z ) qualquer do eixo Z é(são) nula(s)? Justifique.

(c) Deduza, em detalhe, uma expressão para o vetor campo elétrico resultante no ponto P acima mencionado.

Passo 1

A)

Temos que d Q = λ d l .   Integrando:

Q = ∫ λ d l

Mas vamos escrever d l   como d l = R   d ϕ , com ϕ ∈ [ 0 , π ] . Então

Q = ∫ 0 π λ R d ϕ

Q = λ R π

Show!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

B)

Bom, a componente em x deve ser nula, pois é neste eixo que temos dois elementos d q simétricos em relação a origem. E cada um deles vai gerar um campo na direção oposta ao do outro. Com isso, o campo resultante nessa direção será nulo.

Passo 3

c)Vamos fazer um desenho pra ajudar.

Pelo item b, já vimos que a componente em x é nula. Então só temos que calcular as componentes y e z.

Primeiro em z.

d E z = d E cos ⁡ θ

Mas d E = k d q r 2 . E considerando o triângulo retângulo formado. Temos que cos ⁡ θ = z / r . Então

d E z = k d q r 2 z r

d E z = k z d q r 3

Podemos usar o teorema de Pitágoras e r = R 2 + z 2

d E z = k z d q R 2 + z 2 3 / 2

Integrando isso temos:

E z = ∫ k z d q R 2 + z 2 3 / 2 = ∫ 0 π k z λ R d ϕ R 2 + z 2 3 / 2

Na segunda igualdade usei o resultado do item a.

E z = k z λ R π R 2 + z 2 3 2

De novo, pelo item a:

E z = k z Q R 2 + z 2 3 2

Show! Vamos para a componente y.

Vimos que   d E z = d E cos ⁡ θ . Agora, a componente no plano xy do campo magnético é d E sen ⁡ θ .   Para termos a componente na direção y temos que projetar na direção desse eixo, então ficamos com d E y = - d E sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ . Esse menos é porque o d E aponta para o sentido negativo do eixo.

A vista do plano xy é assim:

Show. Vamos lá.

d E y = - d E sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

Mas d E = k d q r 2 . E considerando o triângulo retângulo formado na figura lá de cima. Temos que sen ⁡ θ = R / r . Então

d E y = - k d q r 2 R r   sen ⁡ ϕ  

Substituindo o r :

d E y = - k R d q R 2 + z 2 3 2   sen ⁡ ϕ

Substituindo d q :

d E y = - k R λ R d ϕ R 2 + z 2 3 2   sen ⁡ ϕ

E y = - ∫ 0 π k R λ R d ϕ R 2 + z 2 3 2   sen ⁡ ϕ

E y = - k R 2 λ R 2 + z 2 3 2     ∫ 0 π d ϕ   sen ⁡ ϕ

E y = - 2 k R 2 λ R 2 + z 2 3 2    

Para deixarmos em termos da carga total Q:

E y = - 2 k R Q π R 2 + z 2 3 2    

Show! Então o vetor campo elétrico no ponto P é

E → ( 0,0 , z ) = E x x ^ + E y y ^ + E z z ^

E → ( 0,0 , z ) = 0 + k Q R 2 + z 2 3 2 - 2 R π y ^ + z z ^

Resposta

a) Q = λ R π

b) a componente em x deve ser nula, pois é neste eixo que temos dois elementos d q simétricos em relação a origem. E cada um deles vai gerar um campo na direção oposta ao do outro. Com isso, o campo resultante nessa direção será nulo.

c) E → ( 0,0 , z ) = 0 + k Q R 2 + z 2 3 2 - 2 R π y ^ + z z ^

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas