Dois pedaços de fios retos semi-infinitos, isolantes e carregados (densidades de carga λ e – λ) estão colados a dois semicírculos de raio R formados de fios isolantes carregados (densidades de carga 2λ e - λ), como mostra a Figura 1.

a) Calcule o vetor campo elétrico na origem das coordenadas devido aos fios semi-infinitos retos.

b) Calcule o vetor campo elétrico na origem das coordenadas devido aos fios semicirculares.

c) Calcule o campo eletrostático vetorial total na origem das coordenadas.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Letra (a):

A idéia pra resolver essas questões de campo em um fio é primeiro sempre olhar a simetria e ver pra onde o campo vai apontar. Depois escrever o diferencial de carga e os limites de integração, juntar tudo e integrar! Vamos lá?

Sabemos que no centro o fio semi infinito reto mais à esquerda produz um campo horizontal para a direita, certo? E o outro fio, o mais à direita? Também! Ele tem densidade de carga negativa, então o campo produzido por ele vai ser “entrando”, que é na direção – x ^ também. Então vou calcular para um fio e multiplicar por dois, ok?

Agora o diferencial de carga. Como temos uma distribuição uniforme, um pedacinho do fio vai ter um pedacinho de cargas:

d q = λ d x

Agora os limites. Vou olhar o fio da esquerda. Você pode tentar o outro lado e verificar que dá o mesmo resultado =) A distância até o ponto P vamos dizer que é x , e o mais próximo que ela chega do ponto é quando x = - R , e o mais longe? Como o fio é semi infinito, o mais longe que pode chegar é - ∞ , então os limites são:

- ∞ < x < - R

Aí o diferencial de campo fica:

d E = k 0 d q r 2 = k 0 λ d x x 2

Agora é só integrar tudo:

E = k 0 λ ∫ - ∞ - R d x x 2 = k 0 λ - 1 x - ∞ - R = k 0 λ 1 R + 1 ∞ = k 0 λ R

E aí o campo vetorial dos dois fios vai ser:

E → = 2 k 0 λ R ( + x ^ )

Beleza até aqui?

Passo 2

Letra (b):

Agora vou analisar os semicírculos. O semicírculo superior produz um campo para baixo por simetria, já que a densidade de cargas é positiva. E o semicírculo inferior? Ele também produz um campo para baixo! Já que sua densidade é negativa! Então vou começar calculando o campo do fio superior.

O diferencial de cargas para um fio circular é:

d q = 2 λ R d θ

θ são:

0 < θ < π

E o campo é proporcional ao seno desse ângulo, por simetria, daí o campo fica assim:

d E y = d E s e n θ = k 0 R 2 d q   s e n θ

E juntando tudo isso e integrando teremos:

E y = ∫ 0 π k 0 R 2 2 λ R s e n θ d θ = 2 λ k 0 R ∫ 0 π s e n θ   d θ

E y = 2 λ k 0 R - c o s π + c o s 0 = 4 λ k 0 R

Para o semicírculo inferior a única diferença é a densidade de carga que é a metade da do fio superior, então o campo elétrico do fio inferior vai ser metade do campo do fio superior:

E i n f = 2 λ k 0 R

E a direção é vertical para baixo então o campo vetorial total dos fios é dado por:

E → = 4 λ k 0 R + 2 λ k 0 R ( - y ^ )

E → = 6 λ k 0 R ( - y ^ )

Passo 3

Letra (c):

E agora o campo vetorial total vai ser a soma de todos os campos. Juntando as respostas dos itens anteriores temos:

E → = 2 k 0 λ R + x ^ + 6 λ k 0 R ( - y ^ )

E → = 2 k 0 λ R ( x ^ - 3 y ^ )

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) 2 k 0 λ R ( + x ^ )

( b ) E → = 6 λ k 0 R ( - y ^ )

( c ) E → = 2 k 0 λ R ( x ^ - 3 y ^ )

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