Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

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Enunciado

Considere os dois semicírculos concêntricos de material isolante representados na figura abaixo. O semicírculo com raio R 2 tem densidade linear de carga positiva λ 2 , enquanto o semicírculo menor tem raio R 1 e duas densidades lineares de carga: λ 1 (positiva) para pontos com coordenada x negativa e – λ 1 (negativa) para pontos com coordenada x positiva. Os raios e as densidades lineares das duas distribuições de carga são tais que vale a relação λ 1 R 1 = λ 2 R 2 .

a ) Calcule o vetor campo elétrico gerado pelo semicírculo menor no ponto O (origem dos eixos e centro dos semicírculos)

b ) Calcule o vetor campo elétrico gerado pelo semicírculo maior no ponto O .

c ) Calcule o vetor de campo elétrico resultante do ponto O e escreva seu módulo.

d ) Calcule as coordenadas da posição na qual deve ser colocada uma carga puntiforme negativa de valor q = - 2 2 ⋅ λ 2 ⋅ R 2 , para que o campo elétrico total resultante no ponto O seja nulo.

Passo 1

a )

Vamos primeiro determinar o campo gerado pelo semicírculo menor, para isso, vamos analisar como seria o vetor campo elétrico produzido por cada metade deste semicírculo, pois temos que cada metade tem uma densidade linear diferente.

Vamos começar pela metade positiva, sabemos que o campo elétrico “sai” das cargas positivas, temos então, decompondo em x e y , que a componente do campo infinitesimal d E → x + aponta na direção positiva do eixo x , enquanto que a componente d E → y + aponta na direção positiva do eixo y , fica assim:

Show!

Pensando na outra metade do semicírculo, pelo fato de ela ser negativa, o campo irá apontar em direção a ela, pensando na decomposição, temos que a componente d E → x - irá apontar na direção positiva do eixo x , enquanto que a componente d E → y - irá apontar na direção negativa do eixo y , fica assim:

A partir das duas decomposições que fizemos, e levando em consideração a simetria, vemos que as componentes y irão se cancelar, enquanto que as componentes x irão se somar. Ótimo, isso significa fazer menos conta!!

Passo 2

Agora que sabemos que o campo resultante será na direção positiva do eixo x , e que as componentes d E → x + e d E → x - tem o mesmo módulo, basta calcular uma das componentes e multiplicar por dois, se liga!

Temos que o módulo do campo infinitesimal é:

d E = k d q r 2

Tendo em vista que queremos apenas a componente x , ou seja, d E cos ⁡ θ , temos:

d E x + = k d q r 2 ⋅ cos ⁡ θ

Substituindo r = R 1 e λ 1 = d q d l , temos:

d E x + = k λ 1   d l R 1 2 ⋅ cos ⁡ θ

Agora é só integrar, ah...não esqueça que d l = R 1 . d θ :

E x + = k λ 1 R 1 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ

E x + = k λ 1 R 1 ( 1 - 0 )

E x + = k λ 1 R 1

O campo total será:

E → = 2 k λ 1 R 1 ( i ^ )

Bora pro próximo item!

Passo 3

b )

Agora que já fizemos o item a , esse item vai ser moleza!

Pensando da mesma maneira que no item a , percebemos que ambas as metades irão produzir um campo que aponta para fora, desse modo teremos que as componentes x irão se anular, enquanto as componentes y irão se somar, apontando na direção negativa do eixo. A partir do módulo do campo infinitesimal, temos:

d E = k d q r 2

Tendo em vista que queremos apenas a componente y , ou seja, d E sen ⁡ θ , temos:

d E = k d q r 2 ⋅ sen ⁡ θ

Substituindo r = R 2 e λ 2 = d q d l , temos:

d E = k λ 2 d l R 2 2 ⋅ sen ⁡ θ

Agora é só integrar, e claro, não esqueça que d l = R 2   d θ :

E = k λ 2 R 2 ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ = k λ 2 R 2 cos ⁡ θ 0 π

E = k λ 2 R 2 ⋅ ( 1 - ( - 1 ) )

E = 2 k λ 2 R 2

O vetor campo será:

E → = 2 k λ 2 R 2 ( - j ^ )

Passo 4

c )

Para determinar o vetor, é só somar os resultados dos itens a e b :

E → t o t = 2 k λ 1 R 1 i ^ + 2 k λ 2 R 2 ( - j ^ )

O módulo será:

E t o t = 2 k λ 1 R 1 2 + 2 k λ 2 R 2 2

E t o t = 2 2 k λ 2 R 2

Calma...nada saiu da cartola, lembre que no enunciado foi dado que λ 1 R 1 = λ 2 R 2 !

Passo 5

d )

Analisando o campo resultante E → t o t , vemos que o campo que o anula, ou seja, o campo gerado pela carga, deve ser:

E → = 2 k λ 1 R 1 - i ^ + 2 k λ 2 R 2 ( + j ^ )

Pela relação λ 1 R 1 = λ 2 R 2 :

E → = 2 k λ 2 R 2 - i ^ + 2 k λ 2 R 2 ( + j ^ )

Sabendo que a carga é negativa, q = - 2 2 ⋅ λ 2 ⋅ R 2 , temos que o campo aponta em sua direção, portanto, a carga deve estar posicionada no segundo quadrante.

Além disso, pela simetria, sabemos que ela se encontra a mesma distância do eixo x que ela se encontra do eixo y , basta agora saber a distância da origem, pois dessa maneira saberemos o módulo do vetor posição da carga. Se liga.

Pelo módulo do vetor campo que é produzido pela carga, temos:

k q r 2 = 2 2 ⋅ k ⋅ λ 2 R 2

Substituindo o valor do módulo da carga, temos:

k 2 2 ⋅ k ⋅ λ 2 r 2 = 2 2 ⋅ k ⋅ λ 2 R 2

r = R 2

Agora que temos o módulo, determinar o vetor posição é fácil!

r → = - 2 2 R 2 ,   2 2 R 2

Lembre-se que só ficou fácil pois sabemos que a carga está no segundo quadrante e que as componentes devem ter o mesmo módulo!

Resposta

a )   E → = 2 k λ 1 R 1 ( i ^ )

b )   E → = 2 k λ 2 R 2 ( - j ^ )

c )   E → t o t = 2 k λ 1 R 1 i ^ + 2 k λ 2 R 2 - j ^ ;   E t o t = 2 2 k λ 2 R 2

d )   r → = - 2 2 R 2 ,   2 2 R 2

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