Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Corpo Extenso

UFPE, Física 3, 1º EE - 2019.1, Questão Q1

a) Um anel isolante, delgado de raio R , possui uma distribuição uniforme de carga positiva λ . Calcule o vetor campo elétrico num ponto situado no eixo, a uma distância z do plano anel.

b) Um disco isolante de raio R tem uma densidade superficial de carga positiva variável σ r = β r ² , onde β é uma constante positiva e r a distância radial medida desde o centro do disco. Calcule o vetor campo elétrico no ponto P do eixo do disco à uma distância z do seu plano (ver figura abaixo).

Passo 1

a) Ok, nesse problema temos um sistema de acordo com o que mostra a figura a seguir. Repare que foram desenhados dois vetores de campo elétrico pra conseguirmos enxergar como ele se comporta no eixo z . Repare que haverá um vetor desse saindo de cada ponto infinitesimal do anel indo em direção ao eixo.

Vamos escolher um ponto infinitesimal qualquer do anel de carga d q e usar a expressão a seguir para calcular o seu campo elétrico no eixo z .

ⅆ E → = k d q r 2 r ^  

Temos que calcular o campo elétrico em sua componente radial (vertical) e axial (horizontal). Masss, repare que as componentes radiais do campo elétrico do anel se cancelam aos pares, por exemplo na figura, a componente vertical de ⅆ E → se anula com a componente vertical de ⅆ E 2 → , enquanto suas componentes horizontais se somam pois estão no mesmo sentido.

Logo, só teremos componentes axiais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então bora calcular a componente z (axial) do campo elétrico

ⅆ E → = k d q r 2 cos ⁡ θ k ^

ⅆ E → = k d q r 2 z r   k ^

ⅆ E → = k d q z r 3   k ^

Agora vamos integrar ⅆ E → para obter o campo elétrico E →  

E → = ∫ k d q z r 3   k ^

E → = k z r 3 ∫ d q k ^

E → = k z Q r 3   k ^

Usando pitágoras na figura, temos que r = z 2 + a ²

E → = k z Q ( z 2 + a 2 ) 3   k ^

E → = k z Q ( z 2 + a ² ) 3 / 2   k ^

Passo 3

b) Nesse caso, a gente pode tratar o disco como se fosse um conjunto de vários anéis concêntricos. Vamos ilustrar o campo elétrico ⅆ E → devido a um anel de carga d q , raio a e largura d a .

No item A, a gente calculou que o campo elétrico devido a um anel carregado é

E → = k z Q ( z 2 + a ² ) 3 / 2   k ^

Então, para o anel da figura temos que

d E → = k z d q ( z 2 + a ² ) 3 / 2  

Integrando ambos os lados, temos que

E → = k z ∫ d q ( z 2 + a ² ) 3 / 2

Dessa vez, a integral de d q não vai ser Q pois temos uma densidade superficial de carga.

Podemos trocar a variável de integração de q para a sabendo que

d q = σ d A

d q = σ   2 π a   d a

Então:

E → = k z σ π ∫ 0 b 2 a d a ( z 2 + a ² ) 3 / 2

E → = - 2 k z σ π 1 z 2 + b 2 - 1 z

Como σ r = β r ² :

E → = - 2 k z β r ² π 1 z 2 + b 2 - 1 z

Resposta

  1. E → = k z Q ( z 2 + a ² ) 3 / 2   k ^
  2. E → = - 2 k z β r ² π 1 z 2 + b 2 - 1 z

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