Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

O arco de um quarto de circunferência de raio R , mostrado na figura abaixo, possui uma distribuição de carga não uniforme dada por λ θ = α θ , sendo α uma constante positiva.

(a) Calcule a carga total Q presente no arco, em função de α e de R .

(b) Calcule (em função de α , de R e da constante de Coulomb k ) as componentes E x e E y com os respectivos sinais, do vetor campo elétrico criado pelo arco sobre o ponto O localizado na origem.

Considere agora que o arco gere, em um ponto P qualquer, um campo elétrico E → p = - 1,14 x ^ - 2,00 y ^   ( N / C )   e que neste mesmo ponto P seja colocada uma carga puntiforme q = 5 n C .

(c) Encontre o vetor da força elétrica F exercida pelo arco sobre a carga.

Passo 1

(a) O enunciado nos dá a distribuição de cargas, certo? Sabemos que essa distribuição é dada por:

λ = d q d l

Então, para termos a carga total, vamos integrar!

Q = ∫ d q

Substituindo d q em função da distribuição de cargas, temos:

Q = ∫ λ θ d l

Agora vamos usar a equação que o enunciado nos deu, que rege a distribuição e, junto dela, devemos substituir a variável que será integrada.

d l = R d θ

∫ 0 π 2 α θ R d θ

Resolvendo a integral, temos:

Q = α R π 2 2 2   → Q = π 2 α R 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) É possível calcular as componentes do campo elétrico primeiramente em módulo e somente depois acrescentar os sinais corretos, mas aqui calculamos já com o sinal. Considere a figura:

Vemos que d E x = d E c o s ( θ + π ) e que d E y = d E s e n ( θ + π ) . Assim:

Componente E x :

E x = ∫ d E c o s θ + π

Sabemos que:

d E = k R 2 d q

cos ⁡ θ + π = - c o s θ

E também que:

d q = λ θ d l = λ θ R d θ

Portanto:

E x = ∫ 0 π 2 k λ θ R d θ R 2 - c o s θ  

Integrando:

E x = - k α R ∫ 0 π 2 θ   c o s θ   d θ = - k α R θ s e n θ + c o s θ 0 π 2 = - k α E π 2 + 0 - 0 + 1

Logo:

E x = - k α R π 2 - 1

Já para a componente E y :

E y = ∫ d E   s e n θ + π

Usando as mesmas relações do E x :

E y = ∫ 0 π 2 k λ θ R d θ R 2 - s e n θ

Integrando:

E y = - k α R ∫ 0 π 2 θ   s e n θ   d θ =   - k α R - θ   c o s θ + s e n θ 0 π 2

E y = - k α R - 0 + 1 - - 0 + 0

Logo:

E y = - k α R

Passo 3

(c) A força elétrica exercida pelo arco sobre a carga q é dada por:

F → = q E →

Substituindo os valores:

5 × 10 - 9 - 1,14 x ^ - 2,00 y ^ → F → = - 5,70 x ^ - 10,00 y ^ 10 - 9 N

Resposta

(a) Q = π 2 α R 8

(b) E x = - k α R π 2 - 1

E y = - k α R

(c) F → = - 5,70 x ^ - 10,00 y ^ 10 - 9 N

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