Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Campos Elétricos e Corpos Carregados

Uma barra delgada de comprimento L   [ m ] é envergada até formar um semi-círculo, conforme mostra a Figura 1.

a ) Se a barra tem uma densidade de carga uniforme λ > 0   [ C / m ] , calcule o campo elétrico na origem.

b ) Onde deveria ser colocada uma carga pontual de valor igual ao da carga total da barra para que o campo na origem fosse nulo?

c ) Considere agora que esse semicírculo se torne um semi-disco de mesmo raio com um orifício concêntrico semicircular de raio L / 10 π   [ m ] e com uma densidade superficial uniforme σ   [ C / m 2 ] , como mostrado na Figura 2. Calcule o campo elétrico na origem devido a esta nova configuração.

Passo 1

a )

Para calcular o campo elétrico na origem, devido a barra carregada, podemos usar a equação do campo gerado por uma carga infinitesimal:

d E → = k . d q r 2 r ^

Pela simetria, vemos que dois pontos simétricos em relação ao eixo y , produzem campos infinitesimais cujas componentes x irão cancelar, sobrando apenas as componentes y que estão se somando! Então, queremos:

d E → . sen ⁡ θ = k . d q r 2 . sen ⁡ θ ( - y ^ )

No nosso caso, temos d q = λ . d l = λ . r . d θ , substituindo:

d E → . sen ⁡ θ = k . λ . r . d θ r 2 . sen ⁡ θ ( - y ^ )

Integrando:

E → y = k . λ r ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ   ( - y ^ )

E → y = k . λ r ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ   ( - y ^ )

E → y = k . λ r - cos ⁡ θ 0 π   ( - y ^ )

E → y = 2 k . λ r   ( - y ^ )

Onde π . r = L , logo:

E → y = 2 k . π . λ L   ( - y ^ ) [ N / C ]

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para que o campo em P seja nulo, o campo gerado pela carga Q deve ser igual em módulo ao campo gerado pelo fio, e de sinal oposto para poder cancelá-lo. O campo gerado pela carga é dado por:

E → Q = k . Q y 2 R ^

Como a carga possui a mesma carga total da barra:

Q = λ . L

Substituindo e igualando ao valor do campo:

k . λ . L y 2 = 2 k . π . λ L

y 2 = L 2 2 . π

y = ± L 2 . π

A carga Q , por ter mesmo sinal que a barra, deve ser colocada no lado oposto, ou seja:

y = - L 2 . π  

Passo 3

c )

Para determinar o campo na origem, devido o disco carregado, podemos partir do que já calculamos no item a , para um semicírculo à uma distancia r da origem, temos que o campo gerado é:

d E → y = 2 k . σ r d r   ( - y ^ )

Integrando de r = L / 10 . π até r = L / π , temos:

E → y = ∫ L 10 π L π 2 k . σ r d r   ( - y ^ )

E → y = 2 k . σ ∫ L 10 π L π 1 r d r   ( - y ^ )

E → y = 2 k . σ ln ⁡ L π - ln ⁡ L 10 π   ( - y ^ )

E → y = 2 k . σ ln ⁡ 10   - y ^ [ N / C ]

Resposta

a ) E → y = 2 k . π . λ L   ( - y ^ ) [ N / C ]

b ) y = - L 2 . π  

c ) E → y = 2 k . σ ln ⁡ 10   - y ^ [ N / C ]

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