Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Uma barra isolante uniformemente carregada com carga Q é dobrada em forma de um quarto de círculo como mostra a figura.

(a) 0

(b) k . Q / R 2

(c) k . 2 Q / ( π . R 2 )

(d) k . Q / ( 4 . π . R 2 )

(e) k . 4 Q / ( π . R 2 )

Passo 1

Escrever a componente infinitesimal de campo elétrico em X :

d E x = K . d q R 2 . c o s ⁡ ( θ )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alterar a equação do passo 1 , escrevendo d q em função de θ , que é a variável que vamos usar para integrar.

d q = λ . d l

λ é a densidade linear da barra, que é constante. d l é o pequeno comprimento da barra. O compomento total da barra vale:

l = R . θ

Onde θ é o ângulo em radianos. Logo: d l = R . d θ .

Por isso:

d q = λ . R . d θ

Mas a densidade linear, por ser constante, é igual à divisão entre a carga total e o comprimento total do cargo:

λ = Q π 2 . R = 2 . Q π . R

Então:

d q = 2 . Q π . R . R . d θ → d q = 2 . Q . d θ π

Passo 3

Substituir o resultado do passo 2 no passo 1 e integrar:

d E x = K . d q R 2 . cos ⁡ θ = K . 2 . Q . d θ π R 2 . cos ⁡ θ = K . 2 . Q . d θ π . R 2 . c o s ⁡ ( θ )

Rearrumando:

d E X = K . 2 . Q . cos ⁡ θ . d θ π . R 2 = 2 . K . Q π . R 2 . cos ⁡ θ . d θ

Agora é integrar e jogar quem é constante para fora da integral:

E X = 2 . K . Q π . R 2 . ∫ θ = 0 θ = π 2 cos ⁡ θ . d θ

E X = 2 . K . Q π . R 2 . s e n θ 0 π 2 = 2 . K . Q π . R 2 1 - 0 = 2 . K . Q π . R 2

Resposta

Letra (c): 2 . K . Q π . R 2

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