Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Considere um anel circular fino, de raio R , com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, situado no plano z = 0 . Tal anel possui uma densidade linear de carga elétrica dada por:

λ θ = λ 0 . s e n θ ,   s e   0 < θ < π 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Onde θ é o usual ângulo polar medido a partir do eixo X , tal como mostra a figura. Qual é o campo elétrico no centro do anel.

(a) - λ 0 8 ϵ 0 R y ^

(b) λ 0 8 ϵ 0 R y ^

(c)   - λ 0 8 ϵ 0 R x ^

(d) λ 0 8 ϵ 0 R x ^

(e) 0

Passo 1

De cara já podemos marcar a letra (a). Por que? Porque sabemos de duas coisas:

  • Existe simetria nesse anel. O campo da metade superior esquerda do anel é simétrico ao campo gerado pela parte superior direita do anel.
  • Por isso, a resultante do campo está no eixo Y e aponta para baixo. Então, a resposta tem que ser alguma coisa do tipo:

- … . Y ^

Outra forma de ver é de acordo com a figura acima. Como a distribuição de cargas está na região 0 < θ < π , vemos pela definição de λ que a carga é máxima em θ = π / 2 e é nula em θ = 0 e θ = π , ou seja, temos meio anel somente com carga positiva.

Com isso, eliminamos as letras (b), (c), (d) e (e).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas vamos resolver fingindo que a questão não é de múltipla escolha (mas na prova, tenta ser malandro, olha o tempo que você economiza...)

Encontrar o componente infinitesimal de carga.

d q d l = λ θ = λ 0 . s e n ( θ )

O infinitésimo de arco é dado por

d l = R d θ

Assim

d q = λ 0 s e n θ R d θ

Passo 3

Note, pela simetria do problema, que o campo elétrico aponta para baixo, na posição vertical. Isso porque somente existe carga na metade de cima do anel

Além disso, a carga na parte esquerda é simétrica à carga na parte direita pois

s e n θ = s e n ( 180 ° - θ )

Assim:

E R = E y

E x = 0

Passo 4

O módulo da componente infinitesimal de campo é dada por

d E = 1 4 π ϵ 0 d q R 2

d E y = d E . s e n θ = 1 4 π ϵ 0 d q R 2 s e n θ

d E y = 1 4 π ϵ 0 R 2 λ 0 s e n θ R d θ s e n θ

d E y = λ 0 4 π ϵ 0 R s e n 2 θ d θ

Passo 5

Agora basta integrar a componente infinitesimal de campo:

E R = E y = λ 0 4 π ϵ 0 R ∫ 0 π s e n 2 θ d θ

Lembrando que:

cos ⁡ 2 θ = c o s 2 θ - s e n 2 θ

E

1 = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

Subtraindo as duas equações

cos ⁡ 2 θ - 1 = - 2 s e n 2 ( θ )

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

A nossa integralzinha fica

∫ 0 π s e n 2 θ d θ = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π = π 2

E o campo elétrico fica

E R = λ 0 4 π ϵ 0 R π 2

E R = λ 0 8 ϵ 0 R

Passo 6

Já determinamos pela simetria que o campo tem que estar na direção - y ^ , assim

E → R = - λ 0 8 ϵ 0 R y ^

Resposta

Letra (a)

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