Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Usp - Física 3 – P1 2018.1 - 2

Considere um anel com raio a e espessura desprezível que está parcialmente carregado. O centro do anel coincide com a origem do sistema de coordenadas, conforme mostrado na figura abaixo e encontra-se disposto com a origem ao longo do plano x y . A distribuição de carga no anel é dada por:

onde θ é o ângulo polar e λ é uma constante positiva. Considere nulo o potencial elétrico no infinito.

  1. Determine o vetor campo elétrico no ponto P = ( 0,0 , z ) do eixo do anel.
  2. Determine o potencial elétrico no ponto P = ( 0,0 , z ) do eixo do anel.

Passo 1

  1. Para vermos como calcular o campo elétrico nesse caso, considere a figura abaixo, em que rotacionamos a figura do enunciado só para facilitar a visualização dos vetores. Nela, o vetor  r → = z   k ^ r → ' = a sin ⁡ θ -   x ^ + cos ⁡ θ   y ^ localizam, respectivamente, o ponto P e o elemento de carga d q que produz o campo   d E → em P .

Um detalhe importante é: como eu rotacionei a figura o intervalo de ângulo onde eu tenho carga é [ 0 ,   π ] . Se não tivesse rotacionado a figura o vetor r → seria a c o s θ x ^ + s e n θ y ^ e o intervalo seria [ π / 2 ,   3 π / 2 ] .

Como   r ^ - r → ’ é o vetor unitário que indica a direção de    d E → e d q = λ d l = λ ( a d θ ) , podemos representar o campo como:

d E → = 1 4 π ϵ 0 λ a d θ r → - r → ' 2   r ^ - r ^ ' .

De acordo com a figura, podemos escrever o vetor unitário da seguinte forma:

r ^ - r → ' = r → - r → ' r → - r →   ' = asen ⁡ θ   x ^ - acos ⁡ θ     y ^ + z   k ^ a 2 + z 2 1 / 2   ,

em que também utilizamos que r → - r → ' = a 2 + z 2 1 / 2 , que podemos tirar do triângulo retângulo da figura acima. Colocando tudo isso junto em   d E → , temos:

d E → = 1 4 π ϵ 0 λ a d θ a 2 + z 2 3 / 2   asen ⁡ θ   x ^ - acos ⁡ θ     y ^ + z   k ^   .

Agora, como a distância z ao ponto P é fixa para todo ângulo, o campo total pode ser escrito como:

E → = 1 4 π ϵ 0 λ a a 2 + z 2 3 2   a ∫ 0 π sin ⁡ θ d θ     x ^ - a ∫ 0 π cos  ⁡ θ d θ     y ^ + z ∫ 0 π d θ   z ^     .

Lembrando que como eu rotacionei a figura o intervalo mudou para [ 0 ,   π ] .

Resolvendo as integrais, chegamos que o campo elétrico resultante no ponto P é:

E → = λ a 4 π ϵ 0     2 a   x ^ + π z k ^ a 2 + z 2 3 2     .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Assumindo que o potencial elétrico é nulo num ponto infinitamente distante de P , podemos escrever a seguinte expressão

d V = 1 4 π ϵ 0 λ a d θ r → - r → ' = 1 4 π ϵ 0 λ a d θ a 2 + z 2 1 2   ⇒ V = λ a 4 π ϵ 0 1 a 2 + z 2 1 2   ∫ π 2 3 π 2 d θ   ,

já que a distância z é constante. Resolvendo essa integral, obtemos que o potencial produzido no ponto P é:

V = λ a 4 ϵ 0 a 2 + z 2 1 2   .

Resposta

  1. E → = λ a 4 π ϵ 0     2 a   x ^   +   π z k ^ a 2 + z 2 3 2     ;

V = λ a 4 ϵ 0 a 2 + z 2 1 2   .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas