Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Corpo Extenso

UFRJ, Física 3, P1 - 2014.2, Questão ME08

Considere uma barra finita de comprimento L , com densidade linear de carga uniforme λ .

Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

a O campo elétrico sempre aponta na direção s ^ .

b O campo elétrico só depende da coordenada s .

c A direção do campo elétrico independe da coordenada ϕ .

d O módulo do campo elétrico independe da coordenada z .

e O módulo do campo elétrico independe da coordenada s .

f O módulo do campo elétrico independe da coordenada ϕ .

Passo 1

O valor do campo pode ser calculado por meio de uma integral a partir de cada componente infinitesimal da barra. Podemos calcular o campo elétrico a partir do cálculo isolado da componente X e da componente Y do mesmo:

E S = θ 0 θ F K . d q r 2 . cos θ

E Z = θ 0 θ F K . d q r 2 . sen θ

Os limites de integração θ 0 e θ F dependem da posição da barra. De fato, θ é o ângulo entre o ponto da barra considerado e o ponto onde queremos calcular o campo.

Os limites de integração determinam três casos diferentes:

  • Se θ 0 = - θ F então o ponto onde queremos calcular o campo passa pela mediana da barra. Ou seja: a barra está numa posição simétrica em relação ao ponto. Nessa situação, temos um campo nulo em Z , e não nulo em S .
  • Se a barra estiver mais para cima, temos um campo com uma componente em S e uma componente em Z .
  • Caso a barra estivesse mais para baixo, também teríamos uma componente E S uma componente E Z .

Assim, a coordenada Z é importante para que calculemos o campo elétrico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O mesmo ocorre para a coordenada S . Para notar isso, vamos tomar o caso em que o ponto considerado se encontra na metade da barra, no caso em que θ 0 = - θ F . Claramente, nessa situação, quanto mais próximo o ponto onde calcularemos o campo estiver, maior será o campo elétrico E S .

E S = θ 0 θ F K . d q r 2 . cos θ

Isso aconteceria porque o valor de r na integral seria reduzido para cada ponto infinitesimal dessa soma infinita. Isso geraria um aumento significativo no módulo do campo.

Passo 3

A coordenada Φ representa o ângulo ao redor da barra que localiza o ponto considerado. Para valores diferentes de Φ , a barra se encontra à mesma distância da barra mas em orientações diferentes.

Isso não muda o valor do campo pois:

r 2 = s 2 + z 2

E, por essa razão, alterar Φ não alteraria o valor de nenhum termo da integral:

E S = θ 0 θ F K . d q r 2 . cos θ

Isso garantiria o mesmo módulo para o campo elétrico, restando-nos a letra ( f ) como resposta.

Resposta

f O módulo do campo elétrico independe da coordenada ϕ .

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