Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Considere o bastão delgado da figura, de comprimento L , posicionado ao longo do eixo x . Sobre o bastão existe uma densidade linear de carga dada por λ ( x ) = α x , onde α é uma constante positiva (todas as unidades estão no SI). Um determinado ponto P possui coordenadas retangulares ( 0 , y , 0 ) onde y > 0 .

a) Considerando a referência dos potenciais no infinito encontre o potencial V P no ponto P .

b) Suponha agora que o potencial gerado pelo bastão no ponto P seja dado pela expressão:

V P = β 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y

onde β é uma constante positiva (todas as unidades estão no SI). Calcule a componente y do vetor campo elétrico E → P em P a partir da expressão fornecida. Responda também se as componentes x e z do vetor campo elétrico E → P em P , devidas ao bastão com a densidade linear de carga original, são positivas, negativas ou nulas, sem precisar calculá-las diretamente a partir da lei de Coulomb (Sugestão: use argumentos de simetria).

Considere novamente a expressão dada no item (b), agora com os valores numéricos L   =   4,0 m , y   =   3,0 m e β =   5,0 × 10 - 6 em unidades do SI.

c) Calcule todos os pontos do espaço em que a carga puntiforme q = 4,0 × 10 - 6 C pode ser colocada de modo que o potencial TOTAL gerado em P tenha o triplo do valor daquele gerado unicamente pelo bastão.

Passo 1

O diferencial de potencial em P gerado por um infinitésimo de carga d q do bastão, localizado em x , é dado por

d V P = d q 4 π ϵ 0 r

onde r é a distância representada em vermelho

e é dada por

r = x 2 + y 2

A densidade linear de carga se relaciona com d q por

d q d x = λ x → d q = λ x d x

d q = α x d x

Assim o potencial em P será dado por

V P = ∫ d q 4 π ϵ 0 r

V P = α 4 π ϵ 0 ∫ 0 L x d x x 2 + y 2

A integral acima pode ser feita substituindo u = x 2 + y 2 → d u = 2 x d x , ou você já pode ter ela no seu formulário :)

V P = α 4 π ϵ 0 x 2 + y 2 x = 0 x = L

V P = α 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que a componente y do campo elétrico é dada por

E y = - ∂ V ∂ y

E y = - β 4 π ϵ 0 1 2 1 L 2 + y 2 2 y - 1

E y = β 4 π ϵ 0 1 - y L 2 + y 2

Já o campo na direção z deve ser

E z = 0

Isso por que o nosso bastão está no plano x y , logo todo campo gerado por cada componente do bastão tem que ser um campo também contido no plano x y

Já o campo na direção x tem que ser

E x < 0

ou seja, a componente x deve apontar para direita.

Isso por que como nosso bastão começa em x = 0 e termina em x = L , e é positivo, todo elemento d q irá produzir uma componente de campo na direção x apontando para a esquerda.

Passo 3

O potencial no ponto P será devido ao bastão e a carga q , ou seja

V P = V b a s t ã o + V q

Como queremos que o potencial no ponto P seja igual ao triplo do potencial do bastão, temos

3 V b a s t ã o = V b a s t ã o + V q

V q = 2 V b a s t ã o

O potencial devido ao bastão é dado por

V b a s t ã o = β 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y

No ponto P

V b a s t ã o = 5,0 × 10 - 6 4 π ϵ 0 4 2 + 3 2 - 3

V b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0 10 - 5

Em unidades do SI

Isso tem que ser igual ao potencial da carga q = 4 × 10 6 C

V q = q 4 π ϵ 0 r = 4 × 10 6 4 π ϵ 0 r

Assim como queremos que V q = 2 V b a s t ã o

4 × 10 6 4 π ϵ 0 r = 2   1 4 π ϵ 0 10 - 5

r = 0,2 m

Ou seja, todos os pontos que distem 0,2 m satisfazem a nossa condição. Esses pontos estão em uma superfície esférica de raio 0,2 m e centrada em P

Resposta

  1. V P = α 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y
  2. E y = β 4 π ϵ 0 1 - y L 2 + y 2
  3. E z = 0

    E x < 0

  4. Pontos da superfície esférica de raio 0,2 m e centrada em P

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