Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Corpo Extenso

PUCRIO, Física 3 - FIS1051, P1 - 2017.2, Questão 1

Considere um bastão (muito fino) isolante de comprimento L carregado com uma densidade de carga uniforme λ > 0 . O bastão está orientado na direção horizontal.

a Desenhe o bastão e o sistema de coordenadas x ,   y ,   z utilizado.

Calcule agora o campo elétrico (módulo, direção e sentido) nos seguintes pontos:

b Em um ponto P 1 qualquer numa altura h acima do bastão.

c Em um ponto P 2 numa altura h acima do centro do bastão.

d Se agora o bastão tem comprimento infinito, como se modifica a resposta do item b ?

Passo 1

a Desenhe o bastão e o sistema de coordenadas x ,   y ,   z utilizado.

Então vambora! O que temos que fazer aqui é determinar onde vamos colocar o bastão carregado em relação ao sistema de coordenadas. Então a boa aqui é encontrar um arranjo que não complique tanto a nossa vida.

Como o bastão carregado está na horizontal, vamos assumir aqui que o plano x y é o plano horizontal (com o eixo y perpendicular ao plano da tela) e vamos posicionar esse bastão ao longo do eixo x .

No entanto, na letra b vamos ter que calcular o campo elétrico em um ponto qualquer acima da barra. Então, como estamos sempre com a cabeça à frente do nosso tempo, não vamos colocar o bastão simétrico em relação ao eixo z , se liga:

Onde b - a = L , que é o comprimento do bastão.

“Tá! Mas eu poderia colocar o bastão simétrico em relação ao eixo z ?!”

Parceiro! Aqui é você quem manda! Mas vamos ver no próximo passo que utilizar essa configuração vai nos ajudar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Calcule agora o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em um ponto P 1 qualquer numa altura h acima do bastão.

Ok, vamos começar posicionando o nosso ponto P 1 . Como os pontos a e b que limitam o bastão são pontos genéricos, podemos posicionar o ponto P 1 sobre o eixo z .

“Ok! Qual é a estratégia agora?”

Pra esse tipo de problema, nós começamos olhando pra um pedaço infinitesimal desse bastão, com carga d q e posicionado em um ponto x qualquer.

O módulo do campo elétrico infinitesimal gerado por esse pedaço do fio é dado por:

d E = 1 4 π ϵ 0 d q r 2

Passo 3

O próximo passo é encontrar as componentes em x e em z desse campo elétrico. Pra isso, vamos utilizar o ângulo θ que apareceu na última imagem.

Além disso, repare que a componente em x do campo elétrico aponta no sentido negativo do eixo x , enquanto a componente em z do campo elétrico aponta no sentido positivo do eixo z , logo:

Dessa forma:

d E x = - 1 4 π ϵ 0 d q r 2 cos θ

d E z = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 sen θ

Onde:

d q = λ   d x

r = x 2 + h 2

cos θ = x r = x x 2 + h 2

sen θ = h r = h x 2 + h 2

Substituindo nas expressões dos campos elétricos, teremos:

d E x = - 1 4 π ϵ 0 λ   d x x 2 + h 2 x x 2 + h 2 = - λ 4 π ϵ 0 x   d x x 2 + h 2 3 / 2

d E z = 1 4 π ϵ 0 λ   d x x 2 + h 2 h x 2 + h 2 = λ h 4 π ϵ 0 d x x 2 + h 2 3 / 2

Passo 4

Pra fechar, basta integrar as expressões de campo elétrico que encontramos, onde a x b . Se liga:

E x = - λ 4 π ϵ 0 a b x   d x x 2 + h 2 3 / 2

E z = λ h 4 π ϵ 0 a b d x x 2 + h 2 3 / 2

Ok! Sei que essas integrais podem assustar, mas o formulário da prova já nos dá a resposta pra esses caras!

Segundo o formulário:

x   d x x 2 + h 2 3 / 2 = - 1 x 2 + h 2

d x x 2 + h 2 3 / 2 = x h 2 x 2 + h 2

Agora é só substituir os limites de integração e ser feliz!

E x = - λ 4 π ϵ 0 - 1 x 2 + h 2 a b =

E x = λ 4 π ϵ 0 1 b 2 + h 2 - 1 a 2 + h 2

E z = λ h 4 π ϵ 0 x h 2 x 2 + h 2 a b =

E z = λ 4 π ϵ 0 h b b 2 + h 2 - a a 2 + h 2

Passo 5

c Calcule o campo elétrico em um ponto P 2 numa altura h acima do centro do bastão.

Como agora estamos interessados em um ponto acima do centro do bastão, podemos reorganizar o nosso sistema da seguinte forma:

“Beleza, mas o que isso muda em relação ao que fizemos até agora?!”

A diferença é que agora sabemos quem são os nossos pontos a e b !

Como agora o bastão está simétrico em relação ao eixo z :

a = - L 2

b = L 2

“E agora?”

Agora é só substituir nas expressões de E x e E z , se liga:

E x = λ 4 π ϵ 0 1 L 2 2 + h 2 - 1 - L 2 2 + h 2 = λ 4 π ϵ 0 1 L 2 4 + h 2 - 1 L 2 4 + h 2

E x = 0

E z = λ 4 π ϵ 0 h L / 2 L 2 2 + h 2 - - L / 2 - L 2 2 + h 2 = λ 4 π ϵ 0 h L / 2 L 2 4 + h 2 + L / 2 L 2 4 + h 2

E z = λ 4 π ϵ 0 h L L 2 4 + h 2

Passo 6

d Se agora o bastão tem comprimento infinito, como se modifica a resposta do item b ?

Pra analisar melhor a situação, vamos utilizar a expressão que encontramos na letra c para o campo elétrico E z :

E z = λ 4 π ϵ 0 h L L 2 4 + h 2

Se a barra for infinita, significa que L 2 4 h , logo:

L 2 4 + h 2 L 2 4

Sendo assim:

E z = λ 4 π ϵ 0 h L L 2 4 = λ 4 π ϵ 0 L L / 2 = 2 λ 4 π ϵ 0 h

E z = λ 2 π ϵ 0 h

Resposta

a

b E x = λ 4 π ϵ 0 1 b 2 + h 2 - 1 a 2 + h 2

E z = λ 4 π ϵ 0 h b b 2 + h 2 - a a 2 + h 2

c

E x = 0

E z = λ 4 π ϵ 0 h L L 2 4 + h 2

d

E z = λ 2 π ϵ 0 h

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