Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

UFRJ- Física 3 – SC 2018.1 - DIURNO - 1

Considere um segmento retilíneo, de comprimento L , disposto sobre o eixo X como mostra a figura abaixo. Ele encontra-se carregado com um densidade linear de carga constante λ .

  1. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em um ponto P sobre o eixo X , localizado a uma distância a   ( a > L ) da extremidade do segmento que está sobre a origem O .
  2. Uma partícula de carga q é posicionada sobre o ponto P . Determine a força elétrica (módulo, direção e sentido) que essa partícula exerce o segmento.
  3. Determine uma expressão assintótica para a força encontrada no item anterior no limite de a ≫ L . Interprete esse resultado.

Passo 1

a) A primeira coisa que precisamos fazer aqui é olhar apenas para um elemento de comprimento do segmento, de largura infinitesimal d x , localizado a uma distância x de O , conforme está na figura abaixo. Esse elemento está à uma distância a - x do ponto P onde queremos calcular o campo elétrico.

Este elemento possui uma carga d q = λ d x e produz um campo elétrico em P que é dado por:

d E → = k 0 d q r 2   x ^ = k 0 λ d x a - x 2     x ^   .

Para encontrar o campo elétrico total, precisamos integrar sobre todo o comprimento do segmento:

E → = ∫ d E → = ∫ 0 L   k 0 λ d x a - x 2     x ^ = k 0 λ ∫ 0 L d x a - x 2     x ^   .

Resolvendo a integral, temos

∫ 0 L d x a - x 2   = - 1 a - x x = 0 x = L = - 1 a - L - 1 a = - a - a - L a a - L

∫ 0 L d x a - x 2   = L a a - L

Assim o campo fica

E → = k 0 λ L a a - L x ^   ,

sendo k 0 = 1 / ( 4 π ε 0 ) . Repara que, se a carga do segmento é positiva, λ > 0 E → vai apontar na direção e sentido de + x ^ ; se λ < 0 E → estará ao longo de - x ^ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Vimos que a força eletrostática é uma força que obedece a terceira lei de Newton. Portanto, a força  F → q s atuando na carga q devida ao segmento carregado de comprimento L tem o mesmo módulo, mesma direção, porém o sentido contrário da força  F → s q que atua no segmento de comprimento L devida à carga q :

F → s q = - F → q s   .

Isso significa que para encontrarmos a força que a carga q produz no segmento, basta encontrarmos a força que o segmento L exerce sobre a carga q em P e invertermos seu sinal. Como já encontramos o campo que o segmento produz em P , que é onde q vai ser colocada, a força  F → q s que q sente é:

F → q s = q E → = k 0 λ L q a a - L   x ^   ,

o que vai nos dar que a força no segmento L fica assim:

F → s ( q ) = - F → q s = - k 0 λ L q a a - L   x ^   .

Passo 3

c) Se tomamos o limte de a ≫ L , vamos ver que a - L ≈ a , o que vai dar para a gente que a força que atua sobre o segmento é:

F → s q ≈ - k 0 Q q a 2     x ^   ,

onde Q = λ L é a carga total do segmento.

Vemos que o resultado acima corresponde à força coulombiana entre duas partículas puntiformes carregadas de cargas q e Q , separadas por um distância a . Este resultado é esperado, pois nesse limite o comprimento do segmento é desprezível quando comparado com a separação entre o segmento e a carga q . Assim, como o segmento possui carga diferente de zero, ele também pode ser pensado como uma partícula pontual carregada quando se tem a ≫ L .

Resposta

  1. E → = k 0 λ L a a - L x ^   ;
  2. F → s q = - k 0 λ L q a a - L   x ^     ;
  3. F → s q ≈ - k 0 Q q a 2     x ^   .

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