Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Unicamp - Física 3 - P1 2018.1 - NOTURNO - 11

Dois fios retilíneos de mesmo comprimento a , separados por uma distância b , estão uniformemente carregados com densidades lineares de carga λ 1 = + λ e λ 2 = - λ ( λ > 0 ) . Considerando o sistema de coordenadas abaixo, calcule:

  1. O vetor campo elétrico no ponto P ;
  2. O potencial elétrico no ponto P ;
  3. O trabalho que um agente externo deve realizar sobre uma carga q 0 para trazê-la desde o infinito até o ponto P .

Passo 1

a) Para a gente matar essa questão, considere a figura abaixo. O vetor  r → ' = x     x ^ localiza o elemento de carga d q = λ 2 d x no fio, enquanto o vetor   r → = b 2   y ^ localiza o ponto P onde queremos calcular o campo elétrico resultante. O ponto P está sobre o eixo y .

Vamos tomar primeiro a barra com densidade de carga λ 2 . Olhando para a figura, a gente vê que o elemento de carga d q = λ 2 d x = - λ d x está a uma distância | r → - r → ' | do ponto P e o campo elétrico   d E 2 → produzido por d q é:

d E → 2 = 1 4 π ϵ 0 λ 2 d x r → - r → ' 2   r ^ - r ^ ' ,

em que   r ^ - r ^ ’ é o vetor unitário que está ao longo da reta que une d q e o ponto P . Sempre podemos escrever um vetor unitário da seguinte maneira:

r ^ - r ^ ' = r → - r → ' r → - r → '   ,

isto é, o vetor dividido pelo módulo dele. Utilizando a representação vetorial que colocamos na figura, podemos reescrever o campo elétrico produzido por d q como:

d E → 2 = 1 4 π ϵ 0 - λ d x x 2 + b 2 4 3 / 2     - x   x ^ + b 2   y ^   ,

que mostra que esse campo tem componentes ao longo do eixo X e Y .

Mas não queremos apenas o campo produzido por esse d q do fio 2, queremos o campo produzido pelos dois fios no ponto P .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) (Continuação)

Antes de fazer a integral para todo o fio, vamos colocar agora no ponto P o campo produzido também por um elemento de carga + d q , mas que agora está no fio 1 à mesma altura do elemento – d q   que a gente discutiu no passo anterior. O campo produzido por esse + d q   do fio 1 é no sentido de se afastar do fio, pois a carga do fio 1 é positiva. Isso está na figura abaixo.

Vemos que esse campo   d E → 1 pode ser obtido de maneira similar ao que fizemos para   d E → 2 . Como esse elemento do fio 1 está à mesma distância x do eixo y , o campo que ele produz é:

d E → 1 = 1 4 π ϵ 0 + λ d x x 2 + b 2 4 3 / 2     - x   x ^ - b 2   y ^ ,  

cujas componentes podemos conferir a partir da figura acima. Portanto, o campo elétrico resultante sobre o ponto P devido às cargas + d q e - d q dos fios 1 e 2, respectivamente, é:

d E → R = d E → 1 + d E → 2 = 1 4 π ϵ 0   + λ d x x 2 + b 2 4 3 / 2     - 2 b 2   y ^   .  

Agora sim, vamos integrar essa expressão para obter o campo resultante no ponto P produzido pelos fios 1 e 2. Fazendo isso, temos:

E → R = λ b 4 π ϵ 0   ∫ 0 a d x x 2 + b 2 4 3 / 2   ( - y ^ ) .

Utilizando o resultado

∫ d u u 2 + d 2 3 / 2 = u d 2 u 2 + d 2 1 / 2 + c o n s t a n t e   ,

Vamos ter

E → R = λ b 4 π ϵ 0   ∫ 0 a d x x 2 + b 2 4 3 / 2   ( - y ^ ) = λ b 4 π ϵ 0 x b 2 2 x 2 + b 2 2 x = 0 x = a ( - y ^ )

E → R = λ b 4 π ϵ 0 a b 2 2 x 2 + b 2 2 = λ b 4 π ϵ 0 4 a b 2 x 2 + b 2 2

Finalmente chegamos a:

E → R = λ a π ϵ 0 b a 2 + b 2 4   - y ^   ,

que mostra que o campo elétrico resultante produzido pelos dois fios carregados aponta do eixo – O y e não tem componente ao longo da direção do eixo O x .

Passo 3

b) Na última figura acima, vemos que os elementos de cargas, que têm o mesmo módulo mas sinais contrários, estão à mesma distância do ponto P . Portanto, se somamos as contribuições de cada elemento de carga desse para o potencial, obteremos um valor NULO no ponto P .

A gente pode repetir essa ideia para toda a extensão restante dos dois fios e obteremos que o potencial no ponto P devido aos dois fios é NULO. Ou seja, sempre há uma carga + d q no fio 1 produzindo um potencial que é cancelado pelo potencial de uma carga – d q do fio 2 com mesmo módulo e à mesma distância do ponto P .

Por isso, o potencial total em P devido aos fios é NULO: V P = 0 .

Passo 4

c) O trabalho realizado pelo campo para trazer uma partícula carregada q 0 do infinito ao ponto P é:

W = - U P - U ∞ = - q 0 V P - V ∞ = - W e x t   ,

em que W e x t é o trabalho realizado por um agente para trazer q 0 do infinito para P .

Bom, como vimos, o potencial no ponto P é V P = 0 . O potencial no infinito também é zero: V ∞ = 0 . Portanto, a partir da expressão acima, chegamos a:

W e x t = q 0 V P - V ∞ = 0   .

Resposta

  1. E → R = λ a π ϵ 0 b a 2 + b 2 4   - y ^     ;

  2. V P = 0   ;

W e x t = q 0 V P - V ∞ = 0   .

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