Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 48-52.

Um elétron e é liberado a partir do repouso no eixo central de um disco uniformemente carregado de raio R . A densidade superficial de cargas do disco é 4 μ C m 2 . Determine o módulo da aceleração inicial do elétron se ele for liberado a uma distância do centro do disco de:

(a) z = R

(b)   z = R 100

(c)   z = R 1000

(d) Por que o módulo da aceleração quase não varia com a distância entre a carga e o disco?

Dado: Razão carga massa do elétron:

e m e = 1,759.10 11 C K g  

Passo 1

Temos a seguinte situação

Observe que, no caso do disco, os componentes infinitesimais que devemos integrar são pequenas rosquinhas de largura d r e raio r como a indicada em verde na figura acima.

A área infinitesimal dessas rosquinhas vale a derivada da área do círculo de raio r em relação a r :

A = π . r 2 → d A d r = 2 π . r → d A = 2 π . r . d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular a carga infinitesimal da região verde, multiplicando a pequena área d A pela densidade superficial de campo, que é constante pois o disco está uniformemente carregado.

d q = σ . d A = 2 π . r . σ . d r

Passo 3

Notar que o campo elétrico resultante E R se encontra no eixo Z , devido à simetria do problema. Então:

E R = E Z

Passo 4

Temos que determinar quem é o campo infinitesimal gerado por cada pedacinho do disco carregado e substituir d q na equação encontrada.

Todos os pedacinhos d q do disco estão a uma distância z 2 + r 2 do nosso ponto! Outro ponto importante é que devido a simetria o campo tem que apontar na direção z ^ . Para pegarmos essa componente basta multiplicar por s e n ( θ ) que tá mostrado na figura acima, beleza?

Então temos

d E Z = K . d q z 2 + r 2 s e n θ

Pela figura

s e n θ = z z 2 + r 2

E já vimos que

d q = 2 π . r . σ . d r

Assim

d E Z = K . 2 π . r . σ . d r z 2 + r 2 z z 2 + r 2

d E Z = K . 2 π . r . σ . z . d r z 2 + r 2 3 / 2

Passo 5

Agora basta integrar!

E z = ∫ x = 0 x = R d E z = ∫ r = 0 r = R K . 2 π . r . σ . z . d r z 2 + r 2 3 2

E z = 2 π . σ . z . K . ∫ r = 0 r = R r . d r z 2 + r 2 3 2

Pra fazer essa integral é só fazer a substituição u = z 2 + r 2 → d u = 2 z d z !

O resultado vai ser:

E z = 2 π . K . σ . 1 - z R 2 + z 2

Passo 6

Podemos a partir do campo determinar a força, que é igual ao produto da massa do elétron m e pela aceleração que queremos determinar:

E . e = a . m e = F e → a = E . e m e

Logo:

a = 2 π . K . σ . e m e . 1 - z R 2 + z 2

a = 2 . π . 9.10 9 . 4.10 - 6 . 1,759.10 11 . 1 - z R 2 + z 2

a ≈ 4.10 16 . 1 - z R 2 + z 2

Passo 7

Substituir os valores sugeridos no problema:

(a) Se z = R → a = 4.10 16 . 1 - z R 2 + z 2 = 4.10 16 . 1 - R R 2 + R 2 = 4.10 16 . 1 - 1 2

a ≈ 1,17.10 16 m / s 2

(b) Se z = R 100 → a = 4.10 16 . 1 - z R 2 + z 2 = 4.10 16 . 1 - R R 2 + R 2 100 2 =

a = 4.10 16 . 1 - 1 1,0001

a ≈ 3,95.10 16 m / s 2

(c) Se z = R 1000 → a = 4.10 16 . 1 - z R 2 + z 2 = 4.10 16 . 1 - R R 2 + R 2 1000 2 =

a = 4.10 16 . 1 - 1 1,000001

a ≈ 3,97.10 16 m / s 2

Passo 8

O módulo da aceleração quase não varia para menores distâncias entre a carga e o disco porque a resultante da força produzida pelas cargas próximas da borda do disco diminuir com a redução da distância entre o elétron e o centro do disco.

Quando a distância z do elétron é muito menor que o raio do disco, o elétron “vê” esse disco como um plano infinito! Lembra como era o campo de um plano infinito? Ele não depende da distância da carga até o plano! A mesma coisa acontece aqui desde que a distância z seja muito menor do que o raio do disco!

Outra forma mais matemática de ver isso é:

a = 4.10 16 . 1 - z R 2 + z 2 = 4.10 16 . 1 - z R 2 z 2 R 2 + 1

a = 4.10 16 . 1 - z R z 2 R 2 + 1

a = 4.10 16 . 1 - z R 1 + z 2 R 2 1 / 2

No limite z ≪ R , a gente pode fazer a razão z / R tender a zero já que essa razão é um número muito pequeninho! Então nesse limite

a ≈ 4.10 16 . 1 - 0

a ≈ 4.10 16   m / s 2

Resposta

(a) Se z = R → a ≈ 1,17.10 16

(b) Se z = R 100 → a ≈ 3,95.10 16

(c) Se z = R 1000 → a ≈ 3,97.10 16

(d) O módulo da aceleração quase não varia para menores distâncias entre a carga e o disco porque a resultante da força produzida pelas cargas próximas da borda do disco diminuir com a redução da distância entre o elétron e o centro do disco.

Isso ocorre porque nessas posições essas forças quase se cancelam e apenas as cargas próximas ao centro do disco exercem influência no elétron.

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