Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 45-24.

Na figura abaixo, uma barra fina de vidro forma uma semicircunferência de raio r = 5,00   c m .

Uma carga + q = 4,5   p C está distribuída uniformemente na metade superior da barra, e uma carga - q = - 4,5   p C está distribuída uniformemente na metade inferior.

Determine:

  1. O módulo do campo elétrico E → no ponto P , situado no centro do semicírculo.
  2. A orientação (em relação do semi-eixo x positivo) do campo elétrico E → no ponto P , situado no centro do semicírculo.

Passo 1

Nesse tipo de problemas, a malandragem é explorar, logo de cara, a simetria do problema.

Vou começar fazendo o seguinte: vou pegar dois pontos simétricos e ver qual seria o campo elétrico resultante no ponto P , decompondo o campo elétrico E → em componentes E x →   e E y → .

Tá vendo que as componentes em x vão se anular e as componentes em y vão se somar?

Então, o campo elétrico resultante vai ser algo do tipo:

Show de bola! Essa interpretação facilita a nossa vida porque não precisamos mais nos preocupar com uma componente horizontal desse campo elétrico.

A figura mostra também que os dois arcos produzem o mesmo campo elétrico na vertical. Assim, só precisamos calcular um deles.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A contribuição d E devido a um elemento de carga d q da haste superior é dada por:

d E = 1 4 π ε 0 d q r 2

Sabendo que a carga é distribuída uniformemente ao longo da haste, podemos dizer que:

d E = 1 4 π ε 0 λ   d s r 2

Onde λ é a densidade linear de carga. Sabendo também que se trata de um arco, podemos dizer que d s = r   d θ , onde θ vai variar de 0 a π / 2 . Portanto:

d E = 1 4 π ε 0 λ r   d θ r 2

Entretanto, como estamos interessados somente na componente vertical, vamos precisar decompor esse campo d E , assim como fizemos antes:

Portanto:

d E y = 1 4 π ε 0 λ sen ⁡ θ   d θ r

Agora sim, agora estamos falando a minha língua!

Pra calcular o campo elétrico resultante da haste superior, basta integrar isso aqui:

∫ d E y = 1 4 π ε 0 λ   r ∫ 0 π / 2 sen ⁡ θ   d θ  

E y = 1 4 π ε 0 λ   r   - cos ⁡ θ 0 π / 2

E y = 1 4 π ε 0 λ   r

Sabendo que λ é a densidade linear de carga, podemos dizer que:

λ = q π r / 2 = 2 q π r

Substituindo de volta:

E y = 1 4 π ε 0 2 q π r 2  

E y = q 2 π 2 ε 0 r 2

Eita! Eu sei, foi tenso... mas só falta um detalhe pra terminar, juro!

Passo 3

Acontece que calculamos somente o campo elétrico da parte positiva da haste. Mas como sabemos que o campo vertical produzido pela parte negativa vai ser igual, baste dizer que:

E = 2 E y

Logo:

E = q π 2 ε 0 r 2

Agora sim, acabou!

Ah! Caso você tenha usado k ao invés de 1 / 4 π ε 0 , o resultado que você vai encontrar vai ser

E = 4 k q π r 2

Relaxa, as duas respostas estão certas.

Agora só temos que substituir os valores!

Passo 4

E = 4 k q π r 2

Onde:

k ≅ 9 × 10 9   N m 2 C - 2 ;

q = 4,5   p C = 4,5 × 10 - 12   C ;

r = 5,00   c m = 5 × 10 - 2 m ;

π ≅ 3,14 ;

Logo:

E = 4 × 9 × 10 9 × 4,5 × 10 - 12 3,14 × 5 × 10 - 2 2

E = 20,63   N / C

Resposta

  1. E = 20,63   N / C

  2. O campo é vertical, apontando para baixo (sentido - y ).

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas