Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Corpo Extenso

UFPE, Física 3, 1º EE - 2015.2, Questão 6

A figura A abaixo mostra um anel fino de plástico e raio R com uma carga q > 0 uniformemente distribuída.

( a ) Qual a direção do campo elétrico no ponto P da figura A , a uma distância z do centro do anel ao longo do seu eixo? Justifique sua resposta.

b Determine o módulo do campo elétrico no ponto P da figura A .

c A figura B mostra um anel de raios interno e externo a e b , respectivamente. O anel tem densidade superficial de carga uniforme, σ > 0 . Determine o módulo do campo elétrico no ponto H , que se encontra sobre o eixo do anel, a uma distância z do seu centro.

Dado:

x   d x x 2 + c 2 β = 1 2 1 1 - β 1 x 2 + c 2 β - 1

Passo 1

( a ) Qual a direção do campo elétrico no ponto P da figura A , a uma distância z do centro do anel ao longo do seu eixo? Justifique sua resposta.

O segredo aqui é explorar a simetria do problema.

Vamos pegar dois pontos dessa circunferência, cada um com carga d q , e vamos olhar pro campo elétrico d E gerado por cada uma dessas cargas.

Se decompormos cada vetor, veremos que as componentes horizontais irão se cancelar, e as componentes verticais irão se somar.

Isso vai acontecer para qualquer par de pontos simétricos. O resultado disso é que o campo elétrico resultante terá direção vertical e, como a carga do anel é positiva, terá o sentido apontando para cima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Determine o módulo do campo elétrico no ponto P da figura A .

Vamos começar a partir do campo elétrico d E gerado por um pedaço do anel com carga infinitesimal d q .

d E = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 r ^

No entanto, como concluímos na letra a , o campo elétrico tem direção vertical, apontando para cima. Logo, podemos nos preocupar apenas com a componente E z do campo elétrico.

d E z = d E sen θ

d E z = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 sen θ

Onde:

d q = λ R   d ϕ

sen θ = z r

r = z 2 + R 2 1 2

Sendo ϕ o ângulo no plano do anel.

Substituindo esses caras, teremos:

d E z = 1 4 π ϵ 0 λ R z z 2 + R 2 3 2   d ϕ

Integrando os dois lados, teremos:

E z = 1 4 π ϵ 0 λ R z z 2 + R 2 3 2 0 2 π d ϕ

E z = 1 4 π ϵ 0 λ R z z 2 + R 2 3 2   ϕ 0 2 π

E z = 1 4 π ϵ 0 2 π R λ z z 2 + R 2 3 2  

A densidade linear de carga é dada por:

λ = q 2 π R

Substituindo, teremos:

E z = 1 4 π ϵ 0 2 π R z × q 2 π R z 2 + R 2 3 2

Finalmente:

E z = 1 4 π ϵ 0 q z z 2 + R 2 3 2

E = E z

E = 1 4 π ϵ 0 q z z 2 + R 2 3 2

Passo 3

c A figura B mostra um anel de raios interno e externo a e b , respectivamente. O anel tem densidade superficial de carga uniforme, σ > 0 . Determine o módulo do campo elétrico no ponto H , que se encontra sobre o eixo do anel, a uma distância z do seu centro.

Dividindo o disco em anéis concêntricos com espessura infinitesimal, o campo elétrico d E gerado por cada anel de carga d q será:

d E = 1 4 π ϵ 0 d q   z z 2 + R 2 3 2

Utilizando o conceito de densidade superficial de carga, podemos dizer que:

d q = σ 2 π R   d R

Logo:

d E = 1 4 π ϵ 0 σ 2 π R z z 2 + R 2 3 2   d R

d E = σ z 2 ϵ 0 R z 2 + R 2 3 2   d R

Integrando dos dois lados:

E = σ z 2 ϵ 0 a b R z 2 + R 2 3 2   d R

O enunciado já nos deu a resposta dessa integral:

x   d x x 2 + c 2 β = 1 2 1 1 - β 1 x 2 + c 2 β - 1

Onde:

x = R

c = z

β = 3 2

Finalmente:

E = σ z 2 ϵ 0   1 2 1 1 - 3 2 1 R 2 + z 2 3 2 - 1 a b

Agora é só organizar a bagunça:

E = - σ z 2 ϵ 0 1 R 2 + z 2 1 2 a b

E = - σ z 2 ϵ 0 1 b 2 + z 2 1 2 - 1 a 2 + z 2 1 2

Jogando o sinal negativo pra dentro dos colchetes, teremos:

E = σ z 2 ϵ 0 1 a 2 + z 2 1 2 - 1 b 2 + z 2 1 2

Resposta

a

O campo elétrico terá direção vertical, apontando para cima.

b

E = 1 4 π ϵ 0 q z z 2 + R 2 3 2

c

E = σ z 2 ϵ 0 1 a 2 + z 2 1 2 - 1 b 2 + z 2 1 2

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