Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

A figura abaixo mostra uma barra retilínea não condutora de comprimento L , com carga elétrica + Q uniformemente distribuída.

a Qual é a densidade linear de carga da barra?

b Calcule o vetor campo elétrico produzido no ponto P , situado no eixo x , a uma distância a da extremidade direita da barra, em termos das variáveis dadas no problema.

c Considere que no ponto P seja colocado um dipolo elétrico, de momento de dipolo elétrico de módulo p , formando um ângulo de 60 ° com o eixo x positivo. Calcule a energia potencial do dipolo.

Passo 1

a Qual é a densidade linear de carga da barra?

A densidade linear de carga é definida por:

λ = d q d x

Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade linear de carga será dada por:

λ = + Q L

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Passo 2

b Calcule o vetor campo elétrico produzido no ponto P , situado no eixo x , a uma distância a da extremidade direita da barra, em termos das variáveis dadas no problema.

Vamos começar escrevendo o campo d E gerado por um pedaço infinitesimal da barra com carga d q .

d E = 1 4 π ϵ 0 d q r 2

Como vimos no Passo 1, a carga d q pode ser escrita como:

d q = λ d x

Onde a variável x é definida a partir da origem. Assim, a relação entre as coordenadas x e r é representada na imagem abaixo:

r = L + a - x

Substituindo isso na expressão de d E , teremos:

d E = 1 4 π ϵ 0 λ d x L + a - x 2

Onde 0 ≤ x ≤ L . Agora basta integrar esse cara.

Passo 3

E = λ 4 π ϵ 0 ∫ 0 L d x L + a - x 2

Podemos fazer essa integração por substituição, onde:

u = L + a - x

d u = - d x

Assim, teremos:

E = - λ 4 π ϵ 0 ∫ d u u 2

E = λ 4 π ϵ 0 1 u

Substituindo de volta e colocando os limites de integração, teremos:

E = λ 4 π ϵ 0 1 L + a - x 0 L

Agora é só arrumar a bagunça:

E = λ 4 π ϵ 0 1 a - 1 L + a

E = λ 4 π ϵ 0 L a L + a

E = λ L 4 π ϵ 0 a L + a

Onde Q = λ L . Assim, finalmente teremos:

E = Q 4 π ϵ 0 a L + a

Como a carga é positiva, o campo elétrico vai apontar no sentido positivo do eixo x .

E → = Q 4 π ϵ 0 a L + a i ^

Passo 4

c Considere que no ponto P seja colocado um dipolo elétrico, de momento de dipolo elétrico de módulo p , formando um ângulo de 60 ° com o eixo x positivo. Calcule a energia potencial do dipolo.

Vamos começar visualizando a situação:

A energia potencial de um dipolo elétrico é dado por:

U = - p → ∙ E →

U = - p E cos ⁡ 60 ° = - p E 2

Substituindo a expressão do campo elétrico que encontramos na letra b , teremos:

U = - p Q 8 π ϵ 0 a L + a

Resposta

a

λ = + Q L

b

E → = Q 4 π ϵ 0 a L + a i ^

c

U = - p Q 8 π ϵ 0 a L + a

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