Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 46-28.

A figura abaixo mostra dois anéis concêntricos de raios R e R ' = 3,00 R , que estão no mesmo plano. O ponto P está no eixo central Z , a uma distância D = 2,00 R do centro dos anéis. O anel menor possui carga uniforme distribuída Q . Em termos de Q , qual deve ser a carga uniformemente distrubuída no anel maior para que o campo elétrico no ponto P seja nulo?

Passo 1

Notar a simetria do problema: o campo elétrico resultante E R está na direção Z , então, precisamos descobrir apenas qual é a componente desse campo nesta direção.

E R = E Z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular o campo elétrico que um pedaço do anel, com carga infinitesimal d q , exerce no ponto P :

d E = K . d q d 2

Onde d é a distância entre um ponto do anel e o ponto P como podemos ver na figura abaixo:

Passo 3

Calcular, pela geometria do problema, o valor de d 2 em função de R e de D :

d 2 = D 2 + R 2

Passo 4

Substituir na equação do segundo passo:

d E = K . d q D 2 + R 2

Passo 5

Olhar novamente o triângulo representado acima. Calcular a projeção do campo elétrico no eixo de simetria pela geometria do problema.

d E z = d E . sin ⁡ θ = d E . D d = d E . D D 2 + R 2 =   K . d q D 2 + R 2 . D D 2 + R 2

d E z = K . D . d q D 2 + R 2 3 2

Passo 6

Integrar o valor do campo elétrico projetado ao longo do anel:

E z = K . D . ∫ d q D 2 + R 2 3 2 = K . D D 2 + R 2 3 2 . ∫ d q = K . D . Q D 2 + R 2 3 2

Passo 7

Vamos chamar o campo elétrico gerado pelo anel de raio R ' de E ' . A projeção dele no eixo de simetria Z será chamada de E Z ' . Notar que o cálculo é muito parecido ao realizado no passo anterior.

Temos apenas que substituir a carga Q pela carga Q ' deste anel e substituir o raio R pelo outro raio R ' . Assim:

E z ' = K . D . Q ' D 2 + R ' 2 3 2

Passo 8

A questão informa que o campo elétrico no ponto P é nulo. Logo:

E z + E z ' = 0

Assim, temos que substituir as equações dos dois passos anteriores na igualdade acima e isolar Q ' para obter a resposta do problema:

K . D . Q ' D 2 + R ' 2 3 2 + K . D . Q D 2 + R 2 3 2 = 0 →

Q ' D 2 + R ' 2 3 2 + Q D 2 + R 2 3 2 = 0 →

Q ' D 2 + R ' 2 3 2 = - Q D 2 + R 2 3 2 →

Q ' = - Q . D 2 + R ' 2 3 2 D 2 + R 2 3 2

Q ' = - Q . ( 2 R ) 2 + 3 R 2 ( 2 R ) 2 + R 2 3 2

Resposta

Q ' = - Q . 13 5 3 2 = - 4,19 . Q

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