Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Densidade de Carga, Campos Elétricos e Corpos Carregados

A figura abaixo mostra dois arcos de circunferência cujo centro está na origem O de um sistema de coordenadas. Em cada arco a carga está uniformemente distribuída.

Determine:

a ) O vetor campo elétrico para cada arco na origem;

b ) O vetor campo elétrico total na origem (dê a sua orientação em relação ao semi-eixo x positivo);

Passo 1

-

a ) O vetor campo elétrico para cada arco na origem;

  • Arco menor:
  • O primeiro passo aqui é escrever a expressão do campo elétrico d E → gerado por uma pedaço infinitesimal do arco, de carga d q :

    d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 r ^

    Graficamente, a ideia é essa:

    Daqui podemos tirar algumas coisas:

    r = R

    r ^ = sen ⁡ ϕ i → - cos ⁡ ϕ j →

    Além disso, podemos dizer que:

    d q = λ d s

    d q = λ R   d ϕ

    Onde λ é a densidade linear de carga.

    Substituindo esses caras na expressão de d E → , teremos:

    d E → = 1 4 π ϵ 0 λ R   d ϕ R 2 sen ⁡ ϕ i → - cos ⁡ ϕ j →

    d E → = 1 4 π ϵ 0 λ R sen ⁡ ϕ i → - cos ⁡ ϕ j → d ϕ

    Passo 2

    Pra terminar, temos apenas que integrar esse cara de 0 até π / 2 .

    E → = 1 4 π ϵ 0 λ R ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ i → - cos ⁡ ϕ j → d ϕ

    E → = 1 4 π ϵ 0 λ R - cos ⁡ ϕ i → - sen ⁡ ϕ j → 0 π 2

    E → = 1 4 π ϵ 0 λ R i → - j →

    A densidade linear de carga pode ser escrita como:

    λ = Q π R 2 → λ = 2 Q π R

    Logo:

    E → = 1 4 π ϵ 0 2 Q π R R i → - j →

    E → = 1 4 π ϵ 0 2 Q π R 2 i → - j →

    E → m e n o r = Q 2 π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

    Passo 3

  • Arco maior
  • As únicas diferenças o arco menor para o arco maior é que agora o raio é 2 R , ao invés de R , e a carga do arco é + 4 Q , ao invés de + Q .

    Então a única coisa que temos que fazer é pegar a expressão do campo elétrico do arco menor e, onde estiver R , substituir por 2 R e onde estiver Q , substituir por 4 Q . Logo:

    E → m a i o r = 4 Q 2 π 2 ϵ 0 2 R 2 i → - j →

    E → m a i o r = 4 Q 2 π 2 ϵ 0 4 R 2 i → - j →

    E → m a i o r = Q 2 π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

    Passo 4

    b ) O vetor campo elétrico total na origem (dê a sua orientação em relação ao semi-eixo x positivo);

    O campo elétrico total será a soma vetorial dos dois campo elétricos, logo:

    E → = E → m e n o r + E → m a i o r

    E → = Q 2 π 2 ϵ 0 R 2 i → - j → + Q 2 π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

    E → = 2 Q 2 π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

    E → = Q π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

    Resposta

    a )

  • Arco menor
  • E → m e n o r = Q 2 π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

  • Arco maior

E → m a i o r = Q 2 π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

b )

E → = Q π 2 ϵ 0 R 2 i → - j →

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