Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Ufpe - Física 3 – P1 2018.2 - 2

A figura abaixo representa uma esfera maciça não-condutora, de raio a e densidade volumétrica de carga constante + ρ . Tal esfera maciça está envolvida por uma casca esférica concêntrica, também não-condutora, de raio interno b e raio externo c . A casca esférica tem uma carga elétrica + Q uniformemente distribuída em toda sua extensão. A distância radial r ilustrada na figura (segmento reto tracejado) pode variar no intervalo 0 ≤ r < + ∞ , onde r = 0 localiza o centro comum da esfera maciça e da casca esférica. Além disso, uma carga pontual – q está fixada num ponto localizado entre a esfera maciça e a casca esférica, onde a < r < b . Nestas circunstâncias, calcule:

  1. O módulo do campo elétrico em um ponto no interior da esfera maciça, onde r < a .
  2. O módulo da força elétrica total sentida pela carga – q que está na região onde a < r < b .
  3. Para que valor da carga Q da casca o fluxo elétrico total através da superfície esférica tracejada de raio d > c ilustrada na figura é nulo?

Passo 1

r < a , vamos tomar uma gaussiana esférica (superfície fechada!) de raio r , como está na figura abaixo.

Para essa superfície gaussiana, vamos ter que aplicar a lei de Gauss

∮ G E → ⋅ d A → = Q i n t ε 0     ,

em que Q i n t é a carga total líquida que está dentro da superfície fechada G (superfície gaussiana) de raio r < a .

Nesse caso, como r < a , então a superfície gaussiana não engloba toda a carga da esfera. Por isso, como + ρ é constante, temos que

Q i n t = ρ 4 π r 3 3   .

Como está na figura acima, o vetor infinitesimal de área   d A → deve sempre apontar para fora da superfície gaussiana, portanto,   d A → = d A   r ^ , que está na direção radial  r ^ .

Agora, como a carga da esfera não-condutora de raio a é positiva, então o campo elétrico que ela produz também aponta na direção radial e, por causa da simetria esférica do problema, esse campo depende apenas da distância r até o centro da esfera. Com isso, vamos ter que o vetor campo elétrico  E → é:

E → = E r r   r ^   ,

e, por isso, é paralelo ao vetor   d A → = d A   r ^ .

Jogando o que discutimos dentro da lei de Gauss, teremos:

∮ G E → ⋅ d A → = ∮ G E r r d A = ρ 4 π r 3 3 ε 0   .

Agora, outra informação importante, é que, como o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos tirar E r ( r ) da integral e reescrever o seguinte:

E r r ∮ G d A = E r r 4 π r 2 = ρ 4 π r 3 3 ε 0   ,

que simplificada, fica

E r r = ρ r 3 ε 0     ⇒     E → = ρ r 3 ε 0 r ^   ,  

que é o queríamos encontrar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Aqui precisamos calcular a força que atua sobre a carga negativa – q que está na região a < r < b . A força que atuará sobre essa carga tem módulo dado por

F = q E   ,

sendo que E é o módulo do campo elétrico produzido pela esfera não-condutora de raio a na posição r onde está a carga – q . Portanto, o nosso próximo passo deve ser calcular o campo elétrico na região a < r < b .

Para isso, vamos usar novamente a lei de Gauss. O lado esquerdo fica da mesma forma que encontramos no Passo 1:

∮ G E → ⋅ d A → = E r 4 π r 2   .

O lado direito, que depende da carga interna Q i n t contida na gaussiana, é que muda, já que superfície gaussiana ( r > a ) engloba toda a carga da esfera de raio a . Portanto,

Q i n t = 4 π a 3 ρ 3   .

Juntando tudo, vamos ter o módulo do campo elétrico em a < r < b é

E = ρ a 3 3 ε 0 r 2   .

Com isso, a módulo da força que atua sobre – q é dado por

F = q E = q ρ a 3 3 ε 0 r 2   .

O vetor da força elétrica atuando sobre – q ficaria escrito como:

      F → = q ρ a 3 3 ε 0 r 2   - r ^ ,

que aponta no sentido de aproximar – q da carga positiva + ρ da esfera de raio a , como deveria ser ;-)

Passo 3

c) Para fechar, a superfície gaussiana esférica com d > c engloba total que podemos escrever como

Q i n t = 4 π ρ a 3 3 - q + Q   ,

sendo que o primeiro termo depois da igualdade é a carga total da esfera interna de raio a .

O fluxo Φ E do campo elétrico através da superfície de raio d é dado por

Φ E = Q i n t ε 0 = 1 ε 0 4 π ρ a 3 3 - q + Q = 0   .  

Para encontrarmos como deve ser a carga Q para que isso aconteça, temos que resolver a equação acima, que vai dar o seguinte:

Q = q - 4 π ρ a 3 3   .

Resposta

  1. E → = ρ r 3 ε 0 r ^   ;
  2.     F → = q ρ a 3 3 ε 0 r 2 - r ^   ;
  3. Q = q - 4 π ρ a 3 3   .

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