Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Ufpe - Física 3 – PF 2018.2 - 1

A figura ao lado ilustra uma esfera oca não-condutora de raio interno a e raio externo b que tem densidade volumétrica de carga variável ρ = ρ 0 r 2 para a ≤ r ≤ b , onde ρ 0 é uma constante positiva e r denota a distância radial ao centro da esfera. Tal esfera está localizada no vácuo, cuja constante de permissividade elétrica é dada por ε 0 . Nestas condições, calcule:

  1. A carga elétrica total da esfera oca.
  2. O módulo do campo elétrico para r > b .
  3. O módulo do campo elétrico para a < r < b .
  4. O módulo do campo elétrico para r < a .

Passo 1

a) Para encontrarmos a carga elétrica total contida na esfera oca, temos que fazer a seguinte integral:

Q t o t a l = ∫ a b ρ d V = ρ 0 ∫ a b d V r 2   ,

em que ρ 0 está fora da integral porque é constante.

Agora, a gente precisa escrever corretamente o elemento infinitesimal de volume d V . Para isso, devemos imaginar uma casca esférica de largura d r e raio r . O elemento de volume correspondente é obtido multiplicando a área da esfera de raio r pela largura d r :

d V = 4 π r 2 d r   .

Substituindo isso na expressão para a carga total e resolvendo a integral, teremos:

Q t o t a l = 4 π ρ 0 ∫ a b r 2 d r r 2 = 4 π ρ 0 b - a   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Vamos imaginar uma gaussiana esférica de raio r > b concêntrica à casca esférica. Nesse caso, nossa gaussiana engloba toda a carga Q t o t a l , cuja expressão já encontramos. Por isso, o lado direito da lei de Gauss já temos. Basta trabalharmos o lado esquerdo agora.

Como a distribuição de cargas ρ = ρ ( r ) é uma função apenas de r , que é a distância radial até o centro da esfera, então o campo elétrico que as cargas produzem tem simetria esférica e, por isso, esse campo depende apenas da distância r até o centro da esfera e o vetor correspondente aponta na direção de   r ^ :

E → = E r   r ^ .

O campo campo está apontando para fora da gaussiana, já que a carga da esfera é positiva, e ele tem o mesmo valor em todos os pontos à mesma distância r do centro.

Além disso, como sempre, devemos colocar o elemento de área  d A → apontando para fora da gaussiana, ou seja,  d A → = d A   r ^ , e com isso os vetores E → d A → são paralelos. Se jogamos tudo isso junto no lado esquerdo da lei de Gauss, vamos ter o seguinte:

∮ G E → ⋅ d A → = ∮ G E r d A = E r ∮ G d A = E r 4 π r 2 = Q t o t a l ε 0   .

Dessa expressão, a gente tira que o módulo do campo elétrico em r > b é:

E r = 4 π ρ 0 b - a 4 π ε 0 r 2       ⇒     E r = ρ 0 b - a ε 0 r 2   .

Passo 3

c) Para resolver este item, precisamos considerar uma gaussiana esférica dentro da região a ≤ r ≤ b e depois fazemos os mesmos argumentos do Passo 2 para encontrar o lado esquerdo da lei de Gauss, que é: E ( r ) ( 4 π r 2 ) .

O lado direito, que depende da carga total dentro da região a ≤ r ≤ b , é obtido apenas mudando o limite superior da integral que fizemos no Passo 1: trocamos b por r .

Fazendo isso, vamos ter o seguinte:

E r 4 π r 2 = 4 π ρ 0 r - a ε 0     ⇒   E r = ρ 0 r - a ε 0 r 2   .

Passo 4

d) Para esse caso, de novo fazemos uma gaussiana esférica de raio r < a concêntrica à esfera. Nesse caso, como não há carga nessa região:

∮ G E → ⋅ d A → = Q t o t a l ε 0     ⇒     E = 0   .      

Resposta

  1. Q t o t a l = 4 π ρ 0 b - a   ;
  2. E r = ρ 0 b - a ε 0 r 2   ;
  3. E r = ρ 0 r - a ε 0 r 2   ;
  4. E = 0   .

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