Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Corpo Extenso

UFF, Física II, P1 - 2017.2, Questão 14

A figura mostra uma barra não-condutora com uma densidade linear de carga positiva λ distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. A barra é dobrada em uma semicircunferência de raio R .

O módulo do campo elétrico no centro da semicircunferência é:

a 2 k λ / R

b k λ / R

c k λ / R 2

d 2 k λ / R 2

e k λ / 2 R

Passo 1

Qual é a estratégia aqui?! Vamos começar olhando o campo elétrico d E gerado por um pedaço bem pequeno da barra, com carga infinitesimal d q :

d E = k d q R 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos trabalhando com vetor, a boa aqui é decompor esse cara usando o ângulo θ , onde:

d E x = d E . cos θ = k d q R 2 . cos θ

d E y = d E . sen θ = k d q R 2 . sen θ

Passo 3

Onde, usando a densidade linear de carga λ , podemos escrever a carga infinitesimal como:

λ = d q d l d q = λ   d l

Como d l corresponde a um pedaço infinitesimal do arco de circunferência, temos que d l = R d θ , dessa forma:

d q = λ R d θ

Ao substituir na expressão do campo elétrico:

d E x = k λ R R 2 . cos θ d θ = k λ R . cos θ d θ

d E y = k λ R R 2 . sen θ d θ = k λ R . sen θ d θ

Passo 4

Pra fechar, basta integrar essas duas expressões, onde - π 2 θ π 2 :

E x = k λ R - π 2 π 2 cos θ d θ = k λ R sen π 2 - sen - π 2

E y = k λ R - π 2 π 2 sen θ d θ = - k λ R cos π 2 - cos - π 2

Arrumando a casa:

E x = 2 k λ R

E y = 0

Finamente:

E = E x = 2 k λ R

Resposta

a 2 k λ / R

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