Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Corpo Extenso

PUCRIO, Física 3 - FIS1051, P1 - 2013.2, Questão 1

Uma linha uniforme de cargas de comprimento L e a carga total q produz um campo elétrico E y a uma distância d da linha ao longo da sua mediatriz que é dado pela equação: E y = 1 4 π ε 0 . q d d 2 + L 2 / 4   j ^   .

Considere agora um sistema constituído por uma calha cilíndrica isolante de comprimento L , raio de curvatura R , carregada uniformemente com carga total Q positiva. A origem dos eixos O está situada sobre o eixo da calha, a uma distância R da superfície lateral da mesma, e no plano mediano que corta a calha em duas partes idênticas de comprimento L / 2 . A interseção da calha com o plano X Y descreve um arco de circunferência de ângulo igual a 2 θ , com θ =   π / 4 , como representado na figura.

a ) Considere a calha como constituída por fios de carga infinitesimal d Q , largura d l e comprimento L . Calcule a carga infinitesimal d Q de cada fio. (A densidade superficial de carga da calha é σ = 2 Q / π R L )

b ) Considerando que L R , obtenha o módulo, direção e sentido do campo elétrico gerado pela calha carregada na origem dos eixos O .

Um plano infinito carregado uniformemente é agora colocado paralelamente ao plano Y Z cortando o eixo X na coordenada R . Nesta condição, nota-se que o campo elétrico resultante na origem O é nulo.

c ) Calcule a densidade superficial de carga σ do plano infinito carregado.

Passo 1

Para determinar a carga de cada fio infinitesimal, podemos pensar que cada fio possui espessura R . d θ e comprimento L , logo a carga infinitesimal de cada fio será:

d q = σ . L . R d θ

d q = 2 Q π R L . L . R d θ

d q = 2 Q π . d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Como a calha está carregada positivamente, temos que o campo na origem dos eixos aponta no sentido negativo do eixo x . Isso porque cada parte simétrica da calha contribui com um campo d E e cada componente infinitesimal irá cancelar a componente no eixo y . Cada componente d E vale:

d E = - 2 . cos θ . 1 4 π ε 0 . d q R R 2 + L 2 4   ( i ^ )

Como, L R , temos que:

d E = - 2 . cos θ . 1 4 π ε 0 . d q R . L 2   ( i ^ )

Integrando para achar o campo:

E = - - π 4 π 4 2 . cos θ . 1 4 π ε 0 . 1 R . L 2 . 2 Q π . d θ   ( i ^ )

E = - 2 Q π 2 . ε 0 R . L . ( sen π 4 - sen 0 ) ( i ^ )

E = - Q 2 π 2 . ε 0 . R . L   ( i ^ )

Passo 3

c )

Para um campo infinito carregado, temos que o campo produzido por ele é dado por:

σ 2 . ε 0

Igualando ao campo produzido pela calha, de modo à cancelar o campo na origem, temos:

σ 2 . ε 0 = Q 2 π 2 . ε 0 . R . L

σ = 2 . Q 2 π 2 . R . L

Resposta

a ) d q = 2 Q π . d θ

b ) E = - Q 2 π 2 . ε 0 . R . L   ( i ^ )

c ) σ = 2 . Q 2 π 2 . R . L

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