Considere o seguinte campo de vetores:

F = ( 1 - 2 x y - x 2 , 1 y - x 2 )

E seja D seu domínio de definição. Considere as seguintes afirmações:

  1. F é conservativo e D é simplesmente conexo.
  2. F não é conservativo e D não é simplesmente conexo.
  3. F admite um potencial ϕ e ϕ 0,4 - ϕ 0,1 = l n ⁡ ( 4 )

É correto afirmar que?

Passo 1

Opa amigão, aqui é o Rodolpho do Responde Aí e vim te ajudar a fazer essa questão, e aí vamos lá?

Todas as alternativas pressupõem que o campo é conservativo. Então o primeiro passo é calcular o Rotacional do campo, pois se ele for 0 podemos falar que o campo é conservativo.

Uma vez que ele for conservativo podemos encontrar uma função potencial e verificar a última alternativa.

E aí, podemos ir? Então vamos lá.

Passo 2

Vamos primeiramente calcular o Rotacional do campo, belezinha?

Para calcular precisamos do determinante dessa matriz aqui:

∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   0   1 - 2 x y - x 2   1 y - x 2   0  

Como temos duas colunas nulas vamos utilizar a regra de Laplace, e iremos obter o seguinte vetor rotacional:

∇ x F = ( 0,0 , 0 )

Logo, o campo é conservativo.

O campo é dois semiplanos onde temos os pontos y = x 2 dividindo-os, logo em cada semiplano podemos ligar quaisquer dois pontos por uma reta, sendo simplesmente conexo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, temos que:

∇ ϕ = F

Logo, temos que:

∂ ϕ ∂ x = 1 - 2 x y - x 2

∂ ϕ ∂ y = 1 y - x 2

Nós estamos derivando parcialmente. Logo x é constante em relação y . Tendo isso em mente e integrando a segunda expressão simples temos que:

ϕ = l n l n   y - x 2   + C ( x )

Agora vamos derivar em relação a x .

∂ ϕ ∂ x = ∂ ∂ x l n l n   y - x 2   + C x = - 1 y - x 2 2 x + C ' ( x )

Logo, igualando a equação 1 temos que:

- 1 y - x 2 2 x + C ' x = 1 - 2 x y - x 2

Gerando que:

C ' x = 1

Integrando a expressão temos que C x = x + c

E finalmente temos que nossa função potencial é:

ϕ = l n l n   y - x 2   + x + c

Fazendo ϕ 0,4 = l n l n   4 - 0 2   - 0 + c = l n l n   4   + c e ϕ 0,1 = l n l n   1 - 0 2   + 0 + c = c . Logo, temos que:

ϕ 0,4 - ϕ 0,1 = l n ⁡ ( 4 )

Resposta

As alternativas corretas são a I e III.

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