Seja

F → = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

1. seja Z = x , y x > 1 , mostrar que F é conservativo em Z .

2. seja ϕ x , y = a r c t g ( y / x ) ,   mostrar que ϕ ( x , y ) é um potencial de F em Z

3. calcular a integral de F ao longo da curva γ t = 2 ,   2 t para t ∈ [ 0,1 ] ,

4. seja W = R 2 { ( 0,0 ) } . O campo F é conservativo em W ? Justificar a respota.

Passo 1

1. Para verificarmos se um campo é conservativo, calculamos seu rotacional. Se ele for igual a zero, sabemos que seu campo é conservativo, certo?

Bora lá então

r o t F = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

∂ F 2 ∂ x = 1 x 2 + y 2 - ( 2 x ) ( x ) x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

∂ F 1 ∂ y = 1 x 2 + y 2 - ( 2 y ) ( - y ) x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Nosso rotacional então ficará

y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 = 0

r o t F = 0

A outra condição seria que a região seja simplesmente conexa. E o nosso Z é, afinal, para toda curva fechada dentro de seu domínio, a região limitada por essa curva está toda contida no nesse domínio. Se você for observar, você poderia acabar se confundindo com aquela singuladirade (dividido por x 2 + y 2 ) . Mas o problema só existe se tivessemos x   e   y iguais a zero, no entanto esse valor não se encontra na região que estamos trabalhando, então tudo tranquilo.

Passo 2

2. Para sabermos se a função é potencial da outra, basicamente o que precisamos ter é

F 1 ,   F 2 = ∂ ϕ ∂ y , ∂ ϕ ∂ x

Quando ϕ x , y = a r c t g y x . Vamos então calcular as derivadas parciais

∂ ϕ ∂ x = ∂ a r c t g u ∂ u ∂ u ∂ x → u = y x

= ∂ y x ∂ x 1 + y 2 x 2

= y ∂ 1 x ∂ x 1 + y 2 x 2

= - 1 x 2 × y 1 + y 2 x 2  

= - y x 2 + y 2

A derivada em relação a y tem passo a passo similar, e encontramos com resultado

∂ ϕ ∂ y = x x 2 + y 2

Opa, temos então que ϕ   é sim uma função potencial de F .

Passo 3

3. Como nosso campinho é conservativo, para qualquer curva fechada contida em Z   temos que a integral independe do caminho, então

∫ λ F   d r = ϕ 2 ,   2 - ϕ 2 ,   0 = a r c t g 1 - a r c t g 0 = π 4

Passo 4

4. O campo nesse caso NÃO é conservativo em W . Por que? Nesse caso existe pelo menos uma curva fechada dentro do domínio de W, onde a integral de linha em cima dessa curva fechada seria diferente de zero. Exemplo φ t = cos ⁡ t ,   s e n t , para 0 ≤ t ≤ 2 π , onde teríamos como resultado dessa integral de linha 2 π .

Cuidado que existir a singularidade apenas não é razão para o campo não ser conservativo, como explicamos lá na letra a), tranquilo? Então é isso

Resposta

a )   F   é   c o n s e r v a t i v o   e m   Z

b )   ϕ   é   p o t e n c i a l   d e   F

c ) π 4

d ) F   n ã o   é   c o n s e r v a t i v o   e m   W .  

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