Considere a hélice r t = ( c o s t ,   s e n t ,   t ) com t ∈ R 3

(1.1) Determine os pontos P 1 e P 2 em que a hélice acima encontra a esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 5

(1.2) Calcule o comprimento de arco C da hélice ligando P 1 a P 2

(1.3) Calcule a integral de linha do campo F x , y , z = x 4 ,   y 10 ,   z ao longo do arco ligando P 1 a P 2 .

Passo 1

Para determinarmos esses pontos é BEM tranquilo! Vamos simplesmente substituir os valores de x ,   y   e z da parametrização da hélice dentro da equação da esfera.

r t = x , y , z = c o s t ,   s e n t ,   t

x 2 + y 2 + z 2 = 5 → cos 2 ⁡ t + s e n 2 t + t 2 = 5

Vamos lembrar da relação trigonométrica que

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Logo

1 + t 2 = 5

t = ± 2

Perfeito, sabemos que os pontos de interseção vao ser então

r - 2   e   r 2

Passo 2

Vamos partir agora para o comprimento do arco. Lembra que pra isso temos uma formulinha?

∫ t 1 t 2 r ' t   d t

Lembrando que

r t = c o s t ,   s e n t ,   t

r ' t = - s e n t ,   c o s t ,   1

r ' t = s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 1 2 = 2

Trazendo de volta pra integral

∫ - 2 2 2   d t = 4 2

Passo 3

Por último mas não menos importante, vamos começar essa última questã aí. Acredito que você concorde comigo que método direto ai seria bem complicado, não?

Minha dica aqui é calcularmos o rotacional desse campo. Se ele for igual a zero, sabemos que temos um campo conservativo, oq eu nos permite usar a função petencial, que ajuda muito nossa vida! Pra calcularmos o rotacional, vamos lembrar que

Onde o campo é F x , y , z = x 4 ,   y 10 ,   z

r o t F = 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 = 0

Opa, se nosso rotacional é zero, sabemos que nosso campo é conservativo! Maravilha

Passo 4

Podemos então calcular o f

F = ∇ f

F 1 ,   F 2 ,   F 3 = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

F 1 = ∂ f ∂ x → f = ∫ F 1 d x

F 2 = ∂ f ∂ y → f = ∫ F 2 d y

F 3 = ∂ f ∂ z → f = ∫ F 3 d z

Vamos então calcular

f = ∫ F 1 d x = ∫ x 4 d x = x 5 5

f = ∫ F 2 d y = ∫ y 10 d y = y 11 11

f = ∫ F 3 d z = ∫ z   d z = z 2 2

Temos entçao que f = x 5 5 + y 11 11 + z 2 2

Então nosso

∫ C F   d r = f P 2 - f P 1

Passo 5

Vamos voltar pra nossa parametrização

r 2 = c o s 2 ,   s e n 2 ,   2

r - 2 = c o s ⁡ ( - 2 ) ,   s e n ( - 2 ) ,   - 2

Sustituindo na função potencial

f P 2 = cos 5 ⁡ - 2 5 + s e n 11 - 2 11 + 2

f P 1 = cos 5 ⁡ 2 5 + s e n 11 2 11 + 2

Sabemos que o cosseno de um número, e o cosseno desse número negativo, temo o mesmo valor, ou seja

cos ⁡ x = cos ⁡ - x

Já para o seno, temos valores opostos, ou seja

s e n x = y

s e n - x = - y

Tendo isso em menta fazemos

∫ C F   d r = f P 2 - f P 1 = cos 5 ⁡ - 2 5 + s e n 11 - 2 11 + 2 - cos 5 ⁡ 2 5 + s e n 11 2 11 + 2

= s e n 11 - 2 11 - s e n 11 2 11 = - s e n 11 2 11 - s e n 11 2 11 = - 2 s e n 11 2 11

Resposta

1.1   r - 2   e   r 2

1.2   4 2

1.3   - 2 s e n 11 2 11

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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2