42) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → x ,   y ,   z = e - y - z e - x , e - z - x e - y , e - x - y e - z   e C é a curva parametrizada por

r → t = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2 , sin ⁡ π t 2 , 1 - e t 1 - e ,                 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Com uma parametrização dessas o que podemos fazer é torcer que F seja com campo conservativo para assim usarmos a função potencial, vamos verificar isso

Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nesse exercício ele fez F 1 = e - y - z e - x , F 2 = e - z - x e - y e F → 3 = e - x - y e - z , mas as contas são as mesmas

1 º                                                           ∂ F 3 ∂ y = ∂ ∂ y e - x - y e - z = - e - z

2 º                                                               ∂ F 2 ∂ z = ∂ ∂ z e - z - x e - y = - e - z

3 º                                                             ∂ F 1 ∂ z = ∂ ∂ z e - y - z e - x = - e - x

4 º                                                             ∂ F 3 ∂ x = ∂ ∂ x e - x - y e - z = - e - x

5 º                                                           ∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x e - z - x e - y = - e - y

6 º                                                       ∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y e - y - z e - x = - e - y

Vamos ter então

r o t F → = - e - z - - e - z , - e - x - - e - x ,   - e - y - - e - y = 0 ,   0 ,   0

Logo essa função é conservativa no domínio da função e onde estamos trabalhando.

Passo 2

Então sabemos que a função F → tem uma função potencial f . Agora, como a gente encontra ela mesmo? Bem, pela teoria é dessa forma aqui oh:

F → = ∇ f

Calma! Eu sei que é muita informação. Vamos com calma. Se lembra do gradiente de uma função escalar? Ele é o vetor das derivadas parciais, neh?

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Então...

F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Pela igualde a gente só pode ter...

F 1 = ∂ f ∂ x

F 2 = ∂ f ∂ y

F 3 = ∂ f ∂ z

Como queremos encontrar a f (a tal da função escalar potencial), calculamos o inverso, ou seja, a integral...

1 º     →             f = ∫     F 1 d x + A y ,   z

2 º     →             f = ∫     F 2 d y + B x ,   z

3 º     →             f = ∫     F 3 d z + C x ,   y

Cara, veja que quando integramos, não podemos esquecer de adicionar a constante de integração. Mas veja que elas não são bem constantes, ela é constante em relação a quem você está integrando, por exemplo: No primeiro caso

1 º     →             f = ∫     F 1 d x + A y ,   z

Aparece uma função A y ,   z que é constante perto de x , mas é uma função em relação as outras variáveis, beleza? Não se esqueça disso heim!

Passo 3

Vamos achar a função f potencial então para a função vetorial. Pegando primeiro a primeira e integrando...

1 º     →             f = ∫     F 1 d x + A y ,   z     →

∫ e - y - z e - x d x + A y ,   z =

x e - y + z e - x + A y ,   z

Pela segunda igualdade agora...

2 º     →             f = ∫     F 2 d y + B x ,   z         →

∫ e - z - x e - y d y + B x , z = y e - z + x e - y + B x , z

Indo agora pra última igualdade e também integrando...

3 º     →             f = ∫     F 3 d z + C x ,   y         →

∫ e - x - y e - z d z + C x , y = z e - x + y e - z + C x , y

Passo 4

Vamo lá, pegando as três integrais que resolvemos e colocando próximas

1 º   →                   x e - y + z e - x + A y ,   z

2 º   →                   y e - z + x e - y + B x , z

  3 º   →                   z e - x + y e - z + C x , y

Agora o nosso trabalho basicamente é reunir esses caras desconsiderando os termos que se repetem...

f x ,   y ,   z =   x e - y + z e - x + y e - z + k

Veja que as funções A , B e C não coloca, mas no lugar delas, coloca uma constante só k que é uma constante real (um número mesmo).

Passo 5

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final na curva:

r → t = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2 , sin ⁡ π t 2 , 1 - e t 1 - e ,                 0 ≤ t ≤ 1

Ela começa em t = 0

r 0 = ln ⁡ 1 ln ⁡ 2 , sin ⁡ π 0 2 , 1 - e 0 1 - e = 0 ,   0 ,   0

E vai terminar em t = 1

r 1 = ln ⁡ 1 + 1 ln ⁡ 2 , sin ⁡ π 2 , 1 - e 1 1 - e = 1 ,   1 ,   1

E a integral vai ficar, já que nos temos uma função potencial

∫ C F → ∙ d r → = f 1 ,   1 ,   1 - f 0 ,   0 ,   0

∫ C F → ∙ d r → = e - 1 + e - 1 + e - 1 + k - 0 + 0 + 0 + k           →

∫ C F → ∙ d r → = 3 e - 1 + k - k       →

∫ C F → ∙ d r → = 3 e - 1

Resposta

3 e - 1

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