1 . Considere

f x , y = e x y tan 3 ⁡ x 2 + x y + y 2

e considere o campo vetorial

F = ∂ f ∂ x + x i + ∂ f ∂ y + y j

O campo F é conservativo? Em caso positivo encontre o potencial.

Passo 1

A primeira coisa que precisamos lembrar é que um campo é conservativo quando:

r o t   F → x , y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k → = 0 →

Assim podemos responder a pergunta principal do enunciado e a partir daí fazer ou não a segunda parte do que o exercício pede.

Mas agora vem o pulo de gato maroto que vai facilitar muito a nossa vida.

Não vamos começar descobrindo quem é ∂ f / d x ou ∂ f / d y pois se você tentar com certeza vai quebrar a cabeça porque vai ficar bem chatinha, e vai ficar mais chata ainda se tentar fazer o rotacional disso então vamos fazer primeiro o rotacional, belezinha?

Vamos fazer tudinho, vem comigo!

Passo 2

Fazendo o rotacional teremos:

r o t   F → x , y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y + y - ∂ ∂ y ∂ f ∂ x + x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y + 0 - ∂ ∂ y ∂ f ∂ x - 0 = 0

Nosso campo é conservativo e não precisamos fazer várias derivadas parciais chatas para chegar nisso.

Passo 3

Agora nos resta descobrir o potencial, então vamos olhar novamente para F :

F = ∂ f ∂ x + x i + ∂ f ∂ y + y j

Sendo assim:

∂ φ ∂ x = ∂ f ∂ x + x                     ( 1 )

∂ φ ∂ y = ∂ f ∂ y + y                     ( 2 )

Integrando ( 1 ) em relação a x :

φ x , y = f + x 2 + g y             ( 3 )

Integrando ( 2 ) em relação a y :

φ x , y = f + y 2 + g x           ( 4 )

Igualando ( 3 ) e ( 4 ) podemos ver que:

g y = y 2         e         g x = x 2

Ou seja:

φ x , y = f + y 2 + x 2

                                                                                                                    = e x y tan 3 ⁡ x 2 + x y + y 2 + y 2 + x 2

E essa é nossa função potencial.

Resposta

É conservativo!

φ x , y = e x y tan 3 ⁡ x 2 + x y + y 2 + y 2 + x 2

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2