Uma carga elétrica Q uniformemente distribuía ao longo de um condutor em forma de anel de raio a repele uma carga q como ao longo da linha perpendicular

]à plano do anel, através do seu centro. A magnitude da força que atua sobre a carga q quando está no ponto x é dado por

F = 1 4 π ϵ 0 q Q x x 2 + R 2 3 2

E a força aruá na direção do eixo x positivo. Encontre o trabalho realizado pela força de repulsão em mover a carga q de x=a até x=b

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Temos que calcular o trabalho, né? Mas não vai dar trabalho fazer, isso, até porque sabemos que o trabalho W é dado por:

W = ∫ a b F x d x

Assim, só temos que fazer a integral de:

W = ∫ a b 1 4 π ϵ 0 q Q x x 2 + R 2 3 2     d x

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Parece complicada, né?! Mas né nada, saca só.

Façamos x 2 + R 2 = u d forma que d u = 2 x d x → d x = d u 2 x e quando

x = a → u = R 2 + a 2

x = b → u = R 2 + b 2

Assim a integral fica:

W = ∫ R 2 + a 2 R 2 + b 2 q Q 4 π ϵ 0 1 2 u 3 2   d u    

W = q Q 8 π ϵ 0 ∫ R 2 + a 2 R 2 + b 2 1 u 3 2   d u    

Passo 3

Sabemos que essa integral usa a técnica das integrais que é:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Assim:

W = q Q 8 π ϵ 0 ∫ R 2 + a 2 R 2 + b 2 u - 3 2   d u     = q Q 8 π ϵ 0 - 2 u R 2 + a 2 R 2 + b 2

W = q Q 4 π ϵ 0 - 1 R 2 + b 2 + 1 R 2 + a 2

É isso, carinha. Obrigado por ter vindo até aqui

Resposta

W = q Q 4 π ϵ 0 - 1 R 2 + b 2 + 1 R 2 + a 2

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