Seja C uma curva parametrizada por σ → t : 1,2 → R 2 , com

σ → t = 2 - t e t - 1 , sen ⁡ π t

Calcule a integral de linha

∫ C 3 x 2 cos ⁡ e y + 4 x + y d x + 4 x - x 3 e y sen ⁡ e y d y

Passo 1

Bem, essa integral parece impossível de se calcular pela definição, porque além do campo não ser nada trivial, a curva foi uma das mais malucas que eu já vi... Então vamos rezar pra esse campo ser conservativo, senão ferrou...

Vamos começar testando o rotacional do campo, que em duas dimensões simplesmente temos que ver se:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0 → ∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1 ∂ y

Nesse caso, temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ 4 x - x 3 e y sen ⁡ e y ∂ x = 4 - 3 x 2 e y sen ⁡ e y

∂ F 1 ∂ y = ∂ 3 x 2 cos ⁡ e y + 4 x + y ∂ y = - 3 x 2 e y sen ⁡ e y + 4

Além disso, o campo está definido em todo o R 2 ! Então, o campo é realmente conservativo, o que significa que não precisamos calcular essa integral pela definição, pelo menos isso... haha Mas vamos tentar encontrar uma função potencial, então.

Passo 2

Lembrando que nossa função tem que ser tal que: F → x , y = ∇ → f x , y

Então, primeiro vemos que:

F 1 = ∂ f ∂ x → f ( x , y ) = ∫ F 1 d x

⇒ f x , y = ∫ 3 x 2 cos ⁡ e y + 4 x + y d x = x 3 cos ⁡ e y + 2 x 2 + 4 x y + g 1 ( y )

E também:

F 2 = ∂ f ∂ y → f x , y = ∫ F 2 d y

⇒ f x , y = ∫ 4 x - x 3 e y sen ⁡ e y d y = 4 x y + x 3 cos ⁡ e y + g 2 ( x )

Se igualarmos os dois, temos que:

x 3 cos ⁡ e y + 2 x 2 + 4 x y + g 1 y = 4 x y + x 3 cos ⁡ e y + g 2 x

⇒ g 1 y = 0                   g 2 x = 2 x 2

Então encontramos nossa função potencial:

f x , y = x 3 cos ⁡ e y + 2 x 2 + 4 x y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos inicial e final da curva. Como temos 1 ≤ t ≤ 2 , então:

A = σ → 1 = 2 - 1 e 1 - 1 , sen ⁡ π 1 = 1 ,   0

B = σ → 2 = 2 - 2 e 2 - 1 , sen ⁡ π 2 = 0 ,   1

E agora já podemos calcular nossa integral!

Passo 4

Sabemos que pela função potencial:

∫ C F → ∙ d r = f B - f A

⇒ 0 3 cos ⁡ e 1 + 2 0 2 + 4 0 1 - 1 3 cos ⁡ e 0 + 2 1 2 + 4 1 0

⇒ - cos ⁡ 1 + 2 = - cos ⁡ 1 - 2

Pronto, bem mais tranquilo que calcular aquela integral maluca lá, né?

Resposta

- cos ⁡ 1 - 2

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