Sejam A e B funções de classe C 1 arbitrárias, definidas em R , e γ : a , b → R 2 , uma curva de classe C 1 por partes, simples e fechada arbitrária. Considere as seguintes afirmações:

(I) ∫ γ A y   d x + B x d y = 0

(II) ∫ γ B x   d x + A y d y = 0

(III) ∫ γ A x   B y   d x + A y B x d y = 0

Assinale a alternativa verdadeira:

Escolha uma:

a) apenas a afirmação II é correta

b) todas as afirmações são verdadeiras

c) todas as afirmações são falsas

d) apenas a afirmação III é correta

e) apenas a afirmação I é correta

Passo 1

Vamos entender o que essa questão está querendo nos dizer. Temos uma curva fechada, bem definida.

E, pelas afirmações, temos campos com funções A e B bem definidas em todo o espaço x , y .

Mas não para por aí. Ele quer saber quais das integrais de linha vetorial sobre essa curva vão zerar.

∮ γ F →   d r → = 0

Cara, se a gente tem uma curva fechada, num campo bem definido, a integral de linha só zera se o rotacional zerar, porque aí temos um campo conservativo, beleza?

Então o que a gente precisa ver é se em quais integrais dessas teremos r o t   F → = 0 . Bora!

Passo 2

(I) Nosso campo aqui é

F → = F 1 ,   F 2 = A y , B x

O rotacional fica:

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t   F → = ∂ B x ∂ x - ∂ A y ∂ y = B ' x - A ' y

A gente não pode afirmar que ele zera, então essa é falsa.

Passo 3

(II) Nosso campo aqui é

F → = F 1 ,   F 2 = B x ,   A y

O rotacional fica:

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t   F → = ∂ A y ∂ x - ∂ B x ∂ y = 0 - 0 = 0

Como a gente derivou uma função de y em relação a x , a derivada zera. E uma situação análoga aparece na outra derivada, então esse rotacional zera sim.

Então é verdadeira.

Passo 4

(III) Nosso campo aqui é

F → = F 1 ,   F 2 = A x   B y ,   A y B x

O rotacional fica:

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t   F → = ∂ A x   B y ∂ x - ∂ A y B x ∂ y = B y ∂ A x ∂ x - B x ∂ A y ∂ y

r o t   F → = B y A ' x - B x A ' y

A gente não pode afirmar que ele zera, então essa é falsa.

Resposta

Letra a

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